百度的几道数学建模面试题（附答案）

某保险公司有5000个同龄人参加人寿保险。规定：参加保险者在一年的第一天交付100元保险金。若在一年内被保险者死亡，其家属可从保险公司领取3万元赔偿费。假设一年中被保险者的死亡率为1.2‰。

求该保险公司在一年中至少盈利20万元的概率？

答案：

1、  令X是5000个被保险者在一年内死亡的人数，显然

2、  保险公司年收入 (万元)，支付赔偿  (万元)

保险公司盈利20万元的概率为:

 

1、  掷骰子。从6个面随机选择一个点并将其扣掉。之后重新掷骰子，朝上一面为奇数/偶数的概率有多大。如果朝上的面没有点，则视为0点，作为偶数对待。

2、  有一个圆。等距离的任意摆放4个围棋棋子。如果相邻两个同色，则在其中间放一个黑色子。如果相邻两个异色，则放一个白色子。之后将原先的4个棋子拿走。将此称之为一次操作。请证明：

1）  无论初始如何摆放，最多只需要4次这样的操作则棋盘上将全部为黑色。

2）  如果初始化放置2^N个子，则最多只需要2^N个这样的操作则棋盘上全部为黑色。

3、  井字棋棋局推理。两个机器在下棋。取胜规则为，横向、纵向或者斜向连成直线则判定为胜方。机器的走棋规则如下：

1）  如果自己有赢棋，则下一步直接赢棋。

2）  如果自己没有赢棋，且对方有赢棋，则下一步直接防守堵住对方的赢棋。

3）  如果自己和对方均无赢棋，则随机选择走棋。

当前棋局如下图所示：请回答黑方和白方，谁将赢棋。

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 答案：

概率问题注意，扣一个点，和扣一个面上的点，样本选择是不同的。概率是11/21或10/21。

 

世界杯小组赛，4队两两比赛。羸方积3分，负方积0分，平局各得1分。

（1）       小组赛打完，所有球队的积分之和有哪些可能？

（2）       如果在一个死亡之组中，4个队实边相当。即每场比赛A赢、B赢、平局的概率各为1/3。小组赛打完，积分之和的概率分布如何？

答案：

（1）共6场比赛，平局总和2分，否则3分。平局的场次可能为[0,1,2,3,4,5,6]，对应积分总和为，[12,13,14,15,16,17,18]。

（2）N=6， p=1/3的二项分布。

 

现在共有N+M+1个“动物”，包括N（N为偶数）只老虎、M只兔子和1个人。对它们不断进行如下操作：每次抽出两个动物（等概率抽取），被取出的两个动物进行“对抗”之后，再将存活下来的动物放回。直到最终只剩下人存活下来，或者某一时刻人挂掉之后，操作结束。

抽出的两种动物的对抗结果如下：

两只老虎：都挂掉。

一只老虎和一只兔子，或者一只老虎和一个人：只剩下老虎，兔子或人挂掉。

两只兔子：相安无事。

一个人和一只兔子：人可以选择将兔子杀掉，或者和兔子和平共处。

假设这个人足够聪明，在遇到一个人和一只兔子的时候，总会做出使他最终存活下来的概率最大的选择。那么他最终存活下来的概率是多少？

答案：

1/(N+1)。 与M无关。

首先，不难计算当M=0时，人的存活概率为1/(N+1)。

接下来证明，人存活的概率与兔子数量M无关：

首先使用数学归纳法证明N=2时，人存活的概率与M值无关，这一步是对M使用数学归纳法。注意在证明过程中，由于我们欲证的是存活概率与M无关，因此在抽到一个人和一只兔子时，人的决策是无所谓的，不妨假设人会杀掉兔子。

在此基础上，再使用数学归纳法证明对于任何N值，人存活的概率都是1/(N+1)，与M值无关，这一步是对N使用数学归纳法。

 

飞机上有N个座位，按顺序从1到N编号。有N个乘客，他们分别拿到了从1号到N号的座位，他们按号码顺序登机并应当对号入座，如果 他们发现对应号座位被别人坐了，他会在剩下空的座位随便挑一个坐。现在假如1号乘客疯了 -_-! (其他人没疯)，他会在N个座位中随机坐一个座位。那么第N人正确坐自己座位的概率是多少？ 注意登机是从1到N按顺序的。N > 1

答案：

设第一个人是疯子，第i个人做自己座位的概率是f(i);

则有:

f(n) = [ f(1) + f(2) + … + f(n-1) ] / n-1

注释：如果第一个人坐在i位，则相当于前i-1个正常，第i个人变成了疯子，于是此时的概率等于f(n-i)

错位相减可得到f(n) = f(n-1)， 前提n>1

f(2) = 1/2    f(1) = 1

…..递归求解，可设并反证

结论： f(n) = 1/2