BM算法

BM算法

后缀匹配，是指模式串的比较从右到左，模式串的移动也是从左到右的匹配过程，经典的BM算法其实是对后缀蛮力匹配算法的改进。所以还是先从最简单的后缀蛮力匹配算法开始。下面直接给出伪代码，注意这一行代码：j++；BM算法所做的唯一的事情就是改进了这行代码，即模式串不是每次移动一步，而是根据已经匹配的后缀信息，从而移动更多的距离。

1j = 0；

2while (j <= strlen(T) - strlen(P)) {

3   for (i = strlen(P) - 1; i >= 0 && P[i] ==T[i + j]; --i)

4   if (i < 0)

5      match；

6   else

7      ++j；

8}

为了实现更快移动模式串，BM算法定义了两个规则，好后缀规则和坏字符规则，如下图可以清晰的看出他们的含义。利用好后缀和坏字符可以大大加快模式串的移动距离，不是简单的++j，而是j+=max (shift(好后缀), shift(坏字符))

先来看如何根据坏字符来移动模式串，shift(坏字符)分为两种情况：

• 坏字符没出现在模式串中，这时可以把模式串移动到坏字符的下一个字符，继续比较，如下图：

• 坏字符出现在模式串中，这时可以把模式串第一个出现的坏字符和母串的坏字符对齐，当然，这样可能造成模式串倒退移动，如下图：

为了用代码来描述上述的两种情况，设计一个数组bmBc['k']，表示坏字符‘k’在模式串中出现的位置距离模式串末尾的最大长度，那么当遇到坏字符的时候，模式串可以移动距离为： shift(坏字符) = bmBc[T[i]]-（m-1-i)。如下图：

数组bmBc的创建非常简单，直接贴出代码如下：

1void preBmBc(char *x, int m, int bmBc[]) {

2    int i;

3    for (i = 0; i < ASIZE; ++i)

4         bmBc[i] = m;

5    for (i = 0; i < m - 1; ++i)

6         bmBc[x[i]] = m - i - 1;

7}

再来看如何根据好后缀规则移动模式串，shift（好后缀）分为三种情况：

• 模式串中有子串匹配上好后缀，此时移动模式串，让该子串和好后缀对齐即可，如果超过一个子串匹配上好后缀，则选择最靠左边的子串对齐。

  

• 模式串中没有子串匹配上后后缀，此时需要寻找模式串的一个最长前缀，并让该前缀等于好后缀的后缀，寻找到该前缀后，让该前缀和好后缀对齐即可。

  

• 模式串中没有子串匹配上后后缀，并且在模式串中找不到最长前缀，让该前缀等于好后缀的后缀。此时，直接移动模式到好后缀的下一个字符。

  

为了实现好后缀规则，需要定义一个数组suffix[]，其中suffix[i] = s 表示以i为边界，与模式串后缀匹配的最大长度，如下图所示，用公式可以描述：满足P[i-s, i] == P[m-s, m]的最大长度s。

构建suffix数组的代码如下：

1suffix[m-1]=m;

2for (i=m-2；i>=0；--i){

3    q=i;

4    while(q>=0&&P[q]==P[m-1-i+q])

5        --q;

6    suffix[i]=i-q;

7}

有了suffix数组，就可以定义bmGs[]数组，bmGs[i] 表示遇到好后缀时，模式串应该移动的距离，其中i表示好后缀前面一个字符的位置（也就是坏字符的位置），构建bmGs数组分为三种情况，分别对应上述的移动模式串的三种情况

• 模式串中有子串匹配上好后缀

  

• 模式串中没有子串匹配上好后缀，但找到一个最大前缀

  

• 模式串中没有子串匹配上好后缀，但找不到一个最大前缀

  

构建bmGs数组的代码如下：

01void preBmGs(char *x, int m, int bmGs[]) {

02   int i, j, suff[XSIZE];

03   suffixes(x, m, suff);

04   for (i = 0; i < m; ++i)

05      bmGs[i] = m;

06   j = 0;

07   for (i = m - 1; i >= 0; --i)

08      if (suff[i] == i + 1)

09         for (; j < m - 1 - i; ++j)

10            if (bmGs[j] == m)

11               bmGs[j] = m - 1 - i;

12   for (i = 0; i <= m - 2; ++i)

13      bmGs[m - 1 - suff[i]] = m - 1 - i;

14}

再来重写一遍BM算法：

1j = 0；

2while (j <= strlen(T) - strlen(P)) {

3   for (i = strlen(P) - 1; i >= 0 && P[i] ==T[i + j]; --i)

4   if (i < 0)

5      match；

6   else

7      j += max(bmGs[i], bmBc[T[i]]-（m-1-i))；

8}

考虑模式串匹配不上母串的最坏情况，后缀蛮力匹配算法的时间复杂度最差是O(n×m)，最好是O(n),其中n为母串的长度，m为模式串的长度。BM算法时间复杂度最好是O(n/(m+1))，最差是多少？留给读者思考。

原文转自：http://www.searchtb.com/