编程之美2.15 子数组之和的最大值（二维）

来源：互联网发布：防范网络诈骗心得800 编辑：程序博客网时间：2024/05/22 06:17

题目：求二维数组（矩阵）的子矩阵之和的最大值。

把问题从二维转化为一维。假设已经确定了矩阵区域的上下边界，不如知道矩阵区域的上下边界分布是第a行和第c行，接下来要确定左右边界。

我们把第a行和第c行之间的每一列看成一个整体，相当于一维数组中的一个元素。即求BC[1]、BC[2]、BC[3]、.。。、BC[M]中和最大的一段。

BC[i]= B[a][i] + .......+ B[c][i]。

枚举矩形的上下边界，再用一维情况下的方法确定左右边界。就可以得到二维问题的解。时间复杂度：O（N^2 * M）

Example：
     0 -2 -7  0
     9  2 -6  2
    -4  1 -4  1
    -1  8  0 -2
    最大子矩阵为：
    9 2
   -4 1
   -1 8

输出：15

二维情况下，定义部分和：PS[i][j] 等于以（1，1）、（i，1）、（1，j）、（i，j）为顶点的矩形区域的元素之和。

在O（1）的时间可以得到更小的部分和：PS[i][j] = PS[i][j-1] + PS[i-1][j] - PS[i-1][j-1] + A[i][j]

程序如下：

#include<iostream>using namespace std;#define max(a,b)  (((a)>=(b))?(a):(b))int BC(int **PS,int a,int c,int i){return PS[c][i]-PS[c][i-1]-PS[a-1][i]+PS[a-1][i-1];}int main(){int Start,All;int m,n;int i,j;int **PS;int **A;int a,c;int maxnum=-1;cout<<"请输入行数：";cin>>n;cout<<"请输入列数：";cin>>m;PS=(int **)malloc(sizeof(int*)*(n+1));A=(int **)malloc(sizeof(int*)*(n+1));for (i=0;i<=n;i++){PS[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*(m+1));A[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*(m+1));}cout<<"请输入"<<n<<"行"<<m<<"列数字："<<endl;for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=m;j++){cin>>A[i][j];}}//求部分和for (i=0;i<=n;i++){PS[i][0]=0;}for (j=0;j<=m;j++){PS[0][j]=0;}for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=m;j++){PS[i][j]=A[i][j]+PS[i][j-1]+PS[i-1][j]-PS[i-1][j-1];}}//枚举求出问题的解for (a=1;a<=n;a++){for (c=a;c<=n;c++){Start=BC(PS,a,c,m);All=BC(PS,a,c,m);for (i=m-1;i>=1;i--){Start=max(BC(PS,a,c,i),BC(PS,a,c,i)+Start);All=max(Start,All);if (All>maxnum){maxnum=All;}}}}cout<<maxnum<<endl;return 0;}