bellman-ford 算法

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

#include "iostream"#include "vector"#include "fstream"using namespace std;struct edge{int u;int v;int weight;};std::vector<edge> E;//边的数组std::vector<int> dist;int vertexnum;//节点数int edgenum;//边数const int maxint = 10000;void initialvector(){// 初始化E.resize(edgenum);dist.resize(vertexnum,maxint);}void getData(){//获取数据ifstream in("data");in>>vertexnum>>edgenum;initialvector();int from,to;double w;int i = 0;while(in>>from>>to>>w){E[i].u = from;E[i].v = to;E[i].weight = w;i++;}}bool relax(int u,int v,int weight){if(dist[v] > dist[u] + weight){dist[v] = dist[u] + weight;return true;}return false;}bool Bellman_Ford(){int finishflag = 0;for(int k = 1;k < vertexnum;k++){finishflag = 0;for(int i = 0;i < edgenum;i++){bool temp = relax(E[i].u,E[i].v,E[i].weight);if(temp){finishflag++;}}if(finishflag == edgenum){//当一个都没有执行relax时，终止循环break;}}for(int i = 0;i < edgenum;i++){if(dist[E[i].v] > dist[E[i].u] + E[i].weight){return false;}}return true;}int main(int argc, char const *argv[]){getData();  int source = 0;dist[source] = 0;if(Bellman_Ford()){for(int i = 0;i < vertexnum;i++){cout<<dist[i]<<endl;}}}

参考：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6791765