求二叉树中两结点的最小公共祖先

来源：互联网发布：知乎亚马逊退款订单编辑：程序博客网时间：2024/06/05 16:18

求二叉树中两结点的最小公共祖先

Part 10 of 15 in the series 常见面试算法题

据说这是微软的一道面试题，谁知道呢。

问题描述：找出二叉树上任意两个指定结点的最近共同父结点（LCA，Least Common Ancestor）。

这算不上是一道算法题了，主要还是看数据结构基本知识和编程能力。

首先考虑最简单的情况——二叉树结点数据结构中有父指针。

这是不是非常简单呢？只要分别从两个结点出发向上走到树根，得到两个结点的分支路径，求出这两条路径相互重合部分的最靠下的结点，就是所求的LCA。这只需要 O(h) 的时空代价（设h是树高，n是树结点数目，平均情况下h = log(n)，最坏情况h = n）。

如果想再稍微节省一点儿时间和空间，可以先找出第一条分支路径，并用这些结点建立哈希表，然后从另外一个指定结点开始向上走到树根，每次遇到一个结点就到哈希表中查一下，一旦发现某个结点存在于哈希表中，这个结点就是所求的LCA。这个方法的代码示意如下：

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def FindLCA(node1, node2):
  # Special cases.
  if not node1 or not node2:
    return None
  if node1 is node2:
    return node1

  # Get the first branch path.
  ancestors1 = set()
  while node1:
    ancestors1.add(node1)
    node1 = node1.parent

  # Check if any ancestor of node2 is in the first branch path.
  while node2:
    if node2 in ancestors1:
      return node2    # Got it, the LCA.
    node2 = node2.parent

  # These two nodes have no common ancestor.
  return None

这样确实很简单，但实际情况是，通常二叉树结点中并没有父结点指针，这时候就要遍历二叉树找到这两个结点，并找出它们的LCA。

实际上，在遍历二叉树的时候，很容易就能够记录下根结点到任何结点的分支路径，只要有了分支路径，就可以对比找出LCA。

我们采取前序遍历，即N-L-R的顺序，使用堆栈来避免递归并且记录完整的分支路径。那么，在二叉树中查找指定结点的算法可以这样写：

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class Dir:
  (Undef, Left, Right) = range(3)

def FindNodes(root, nodeSet, findAll=True):
  if not root or not nodeSet:
    return None

  pathDict = {}
  path = []
  curr = root
  while curr or path:
    while curr:   # Go down along left branch
      path.append((curr, Dir.Left))
      if curr in nodeSet:
        pathDict[curr] = list(path)
        nodeSet.remove(curr)
        if not nodeSet or not findAll:
          return pathDict
      curr = curr.left
    (curr, dir) = path.pop()
    while dir == Dir.Right:   # Back from right branch
      if not path: return pathDict
      (curr, dir) = path.pop()
    path.append((curr, Dir.Right))  # Trun to right from left
    curr = curr.right

  return pathDict

其中Dir这个类相当于是一个枚举，用来定义当前的分支方向。FindNodes除了需要二叉树根结点外，还需要一个待查找的结点集合。这个函数可以在二叉树中找到所有（或第一个）待查找结点的分支路径，并返回一个字典（结点 --> 路径）。

可以看出，FindNodes函数按照前序顺序遍历整个二叉树，查找指定结点。每遇到一个结点，首先判断它是不是我们要找的，如果不是就沿着左边的分支下降到底，然后转入右侧分支。

有了FindNodes函数的支持，我们就可改写前面的FindLCA函数，即先遍历二叉树求出两个结点的分支路径，然后比较这两条路径找出LCA：

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def FindLCA(root, node1, node2):
  # Special cases.
  if not root or not node1 or not node2:
    return None
  if node1 is node2:
    return node1

  # Try to find the two nodes in the tree, and get their branch paths.
  nodeSet = set([node1, node2])
  pathDict = FindNodes(root, nodeSet)
  if nodeSet:
    return None

  path1 = [i[0] for i in pathDict[node1]]
  path2 = [i[0] for i in pathDict[node2]]

  # Compare the two paths, find out the LCA.
  lca = None
  minLen = min(len(path1), len(path2))
  for i in xrange(minLen):
    if path1[i] is not path2[i]:
      break
    lca = path1[i]

  return lca

遍历二叉树查找所有指定的结点需要 O(n) 时间，O(h) 额外空间；对比两条分支路径需要 O(h) 的时间，因此总的时间代价为 O(n)，空间代价为 O(h)。

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作者： Calf

分类: 算法
标签: Least Common Ancestor, 二叉树, 微软面试, 数据结构, 最小公共父结点, 最小公共祖先, 算法题, 编程, 遍历二叉树, 面试题发表评论

评论 (11)引用 (0)(订阅这个帖子上的评论)

Calf
2012年04月02日 22:10
如果二叉树结点结构中有父指针，那也可以使用更节省空间的方法，就是先计算出两个结点各自的深度，如果深度不同，则将较靠下的一个结点拉上去，直到两个结点在同一深度处。然后同步向根结点前进，首次相遇时则为最小公共祖先。示意代码（python 2.7）如下：
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def FindLCA(node1, node2):
  # Special cases.
  if not node1 or not node2:
  return None
  if node1 is node2:
  return node1

  # Gets each node's depth.
depth = lambda node: depth(node.parent) + 1 if node else 0
depth1 = depth(node1)
depth2 = depth(node2)

  # Pulls up the lower node and makes the two nodes in the same depth.
mindepth = min(depth1, depth2)
  for i in xrange(depth1 - mindepth): node1 = node1.parent
  for i in xrange(depth2 - mindepth): node2 = node2.parent

  # Finds the common ancestor.
  while node1 and node2:
  if node1 is node2: return node1
node1 = node1.parent
node2 = node2.parent

  return None
(回复)
- Calf
  2012年04月05日 14:50
  时间复杂度O(h)，设h是二叉树的深度。空间复杂度O(1)。
  (回复)
Calf
2012年04月05日 23:31
如果二叉树结点结构中没有父指针，那也可以不缓存指定结点的整条分支路径，而只需要在遍历查找的时候做点儿小小的改动。关于遍历二叉树可以参考后面的一篇文章：程序基本功之遍历二叉树。这里我将在非递归的前序（N-L-R）遍历基础上修改得到求LCA的程序。
为什么用前序遍历？
首先考察一下LCA的特性，只有两种可能：
1. LCA就是其中的一个结点，而另一个结点是它的子孙；
2. 两个结点分别位于LCA的左子树和右子树中。
对于第一种可能，前序遍历时首先找到的结点就是LCA，剩下的事情就是确定第二个结点在它下面。中序和后序也都可以做，但没有这么美妙。
对于第二种可能，假设在前序遍历过程中，首先找到了一个结点（比如下面的H），根据非递归前序遍历的算法特性，这时候栈里一定是依次存储了结点A（根节点）、B、D、G（请自行思考为什么没有C、E、F），再结合LCA的特性，很容易发现，LCA要么是H自身（对应于上面第一种情况），要么就只能是A、B、D或G。剩下的事情就太美妙，继续遍历二叉树，直到找到另外一个结点。这时候看看A、B、D、G和H中还有谁在栈里，最靠下的那个就是LCA。怎么判定谁在栈里？怎么判定最靠下？用辅助变量呗。
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    G
   /
  H
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示意程序代码：
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def FindLCA(root, node1, node2):
  nodeset = set([node1, node2])   # Also supports 3 or more nodes.
  s = []          # A stack to help performing N-L-R traversing.
  lca = None      # Records the most possible least common ancestor.
  mindepth = -1   # The depth of lca.
  while root or s:
    if root:
      if root in nodeset:
        nodeset.remove(root)
        if mindepth < 0:
          # Yeah, found the first node. The lca must be itself or already in s.
          lca = root
          mindepth = len(s)
        if not nodeset:
          break
      s.append(root)
      root = root.left
    else:
      root = s.pop()
      if mindepth > len(s):
        lca = root
        mindepth = len(s)
      root = root.right
  return None if nodeset else lca
```
如果与非递归前序遍历的程序比较一下，就会发现改动其实非常小。（请直接忽略上面正文中的代码）
这段程序时间复杂度都是O(n)，空间复杂度是O(h)，这些都是遍历二叉树所需的时间和空间消耗。在遍历之外，就只剩下常数量的时空开销了。

原文地址：http://www.gocalf.com/blog/least-common-ancestor.html