二分图的最小路径覆盖，最大独立集，最大团，支配数之间关系证明

    最小路径覆盖就是在一个P x P的有向图中 图中找一些路径，使之覆盖了图中的所有顶点，且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联。如果把这些路径中的每条边从它的起始点走到终点，那么恰好可以经过图中每个顶点一次且只有一次。

由上面可以得出：

1.一个单独的顶点是一条路径；

2．如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的顶点之间存在有向边．

独立集是指图的顶点集的一个子集，该子集的导出子图不含边。如果一个独立集不是任何一个独立集的子集，那么称这个独立集是一个极大独立集。一个图中包含顶点数目最多的独立集称为最大独立集。最大独立集一定是极大独立集，但是极大独立集不一定是最大独立集。

支配集 与独立集相对应，支配集是图顶点集的一个子集，设S 是图G的一个支配集，则对于图中的任意一个顶点u，要么属于集合s，要么与s中的顶点相邻。在s中除去任何元素后s不再是支配集，则支配集s是极小支配集。称G的所有支配集中顶点个数最少的支配集为最小支配集，最小支配集中的顶点个数称为支配数。

最大团 图G的顶点的子集，最大团中的任意两个顶点相邻，若u,v是最大团，则u,v有边相连，其补图u，v没有边相连。

有关系成立：

最小路径覆盖 + 最大匹配数 = 顶点数

最大独立集 + 最小顶点覆盖集 = 顶点数

最大团 = 补图的最大独立集

|最小顶点覆盖集| = |最大匹配数|

一、

首先，最后一个式子上篇博客有介绍，对于第一个等式 参见百度百科：

如果匹配数为零，那么图中不存在有向边，于是显然有：

最小路径覆盖=|顶点数|－最大匹配数=|顶点数| - 0=|顶点数|

P'中不在于匹配边时，路径覆盖数为|P|；

如果在P'中增加一条匹配边pi'－－>pj''，那么在图P的路径覆盖中就存在一条由pi连接pj的边，也就是说pi与pj 在一条路径上，于是路径覆盖数就可以减少一个；

如此继续增加匹配边，每增加一条，路径覆盖数就减少一条；直到匹配边不能继续增加时，路径覆盖数也不能再减少了，此时就有了前面的公式；但是这里只 是说明了每条匹配边对应于路径覆盖中的一条路径上的一条连接两个点之间的有向边；下面来说明一个路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的有向边对应于一条匹配 边；

与前面类似，对于路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的每条有向边pi--->pj，我们可以在匹配图中对应做一条连接pi'与pj''的边， 显然这样做出来图的是一个匹配图（这一点用反证法很容易证明，如果得到的图不是一个匹配图，那么这个图中必定存在这样两条边 pi'---pj'' 及 pi' ----pk''，（j!=k），那么在路径覆盖图中就存在了两条边pi-->pj, pi--->pk ，那边从pi出发的路径就不止一条了，这与路径覆盖图是矛盾的；还有另外一种情况就是存在pi'---pj'',pk'---pj''，这种情况也类似可证）；

至此，就说明了匹配边与路径覆盖图中连接两顶点之间边的一一对应关系，那么也就说明了前面的公式成立！

二、

图的最小顶点覆盖集，加上图中原来的边（原图中所有边的顶点都包含在最小顶点覆盖中），这样得到的图是最大独立集的补图。所有等式成立

三、

最大团中的任意两个顶点相邻，若u,v是最大团，则u,v有边相连，其补图u，v没有边相连。所以最大团的大小是补图的最大独立集的大小