[数据结构]第六章-树和二叉树(读书笔记1)

第六章-树和二叉树

6.1 树的定义和基本术语
树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。树的结构定义是一个递归的定义。即在树的定义中又用到了树的概念。每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
1.结点拥有的子树称为结点的度(Degree)。度不为零的结点称为非终端结点或者分支结点。
2.树的度是树内各结点的度的最大值。
3.同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。
4.如果将树中结点的各子树看成从左到右是有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树，否则称为无序树。
5.森林是m棵互不相交的树的集合。

6.2 二叉树
二叉树(Binary Tree)是另一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有两棵子树。并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。二叉树具有以下重要的性质。
1.在二叉树的第i层上至多有2(n-1)个结点。
2.深度为k的二叉树至多有2(k)-1个结点。
3.对任何一棵二叉树T，如果其终端节点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
4.具有n个结点的完全二叉树的深度为log2+1

#define CHAR 0#if CHAR typedef char TElemType;#else typedef int TElemType;#endif#define NIL 0#define MAX_TREE_SIZE 100typedef TElemType SqlBiTree[MAX_TREE_SIZE];#define ClearBiTree InitBiTree /* 在顺序存储结构中，两函数完全一样 */SqlBiTree bt; typedef struct{int level;int order; /* 结点的层,本层序号(按满二叉树计算) */}position;Status InitBiTree(SqlBiTree T){/* 构造空二叉树T。因为T是固定数组，不会改变，故不需要& */int i;for(i = 0 ;i < MAX_TREE_SIZE; i++){T[i] = NIL; /* 初值为空 */}   return OK;}void DestroyBiTree(){ /* 由于SqBiTree是定长类型,无法销毁 */}Status CreateBiTree(SqlBiTree T){ /* 按层序次序输入二叉树中结点的值(字符型或整型), 构造顺序存储的二叉树T */int i = 0;#if CHARint len;char s[MAX_TREE_SIZE];printf("请按层序输入结点的值(字符)，空格表示空结点，结点数≤%d:\n",MAX_TREE_SIZE);gets(s); /* 输入字符串 */len = strlen(s); /* 求字符串的长度 */for(; i < len; i++){ /* 将字符串赋值给T */T[i] = s[i];if(i != 0 && T[(i+1)/2-1] == NIL && T[i] != NIL){ /* 此结点(不空)无双亲且不是根 */printf("出现无双亲的非根结点%c\n", T[i]);exit(ERROR);}}for(i = len; i < MAX_TREE_SIZE; i++){ /* 将空赋值给T的后面的结点 */T[i] = NIL;}#elseprintf("请按层序输入结点的值(整型)，0表示空结点，输999结束。结点数≤%d:\n",MAX_TREE_SIZE);while(1){scanf("%d",&T[i]);if(T[i] == 999){break;}if(i != 0 && T[(i+1)/2 - 1] == NIL && T[i] != NIL){ /* 此结点(不空)无双亲且不是根 */printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);exit(ERROR);}i++;}while(i < MAX_TREE_SIZE){T[i] = NIL; /* 将空赋值给T的后面的结点 */i++;}#endifreturn OK;}Status BiTreeEmpty(SqlBiTree T){ /* 初始条件: 二叉树T存在 */  /* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */if(T[0] == NIL){ /* 根结点为空,则树空 */return TRUE;}else{return FALSE;}}/*pow()是计算x^y的一个库函数*/int BiTreeDepth(SqlBiTree T){ /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */int i,j = -1;for(i = MAX_TREE_SIZE-1; i >= 0; i--){ /* 找到最后一个结点 */if(T[i] != NIL){break;}}i++; /* 为了便于计算 */do{j++;}while(i >= pow(2.0, j));return j;}Status Root(SqlBiTree T,TElemType *e){/* 初始条件: 二叉树T存在 *//* 操作结果:  当T不空,用e返回T的根,返回OK;否则返回ERROR,e无定义 */if (BiTreeEmpty(T)){/* T空 */return ERROR;}else{*e = T[0];return OK;}}TElemType Value(SqlBiTree T,position e){/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) *//* 操作结果: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点的值 */return T[(int)pow(2.0, e.level-1) + e.order - 2];}Status Assign(SqlBiTree T,position e,TElemType value){/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) *//* 操作结果: 给处于位置e(层,本层序号)的结点赋新值value */int i = (int)pow(2.0, e.level-1) + e.order - 2; /* 将层、本层序号转为矩阵的序号 */if(value != NIL && T[(i + 1)/2 - 1] == NIL){ /* 给叶子赋非空值但双亲为空 */return ERROR;}else if(value == NIL &&(T[i*2+1] != NIL || T[i*2+2] != NIL)){ /*  给双亲赋空值但有叶子（不空） */return ERROR;}T[i] = value;return OK;}TElemType Parent(SqlBiTree T,TElemType e){/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 *//* 操作结果: 若e是T的非根结点,则返回它的双亲,否则返回＂空＂ */int i;if(T[0] == NIL){ /* 空树 */return NIL;}for(i=0;i < MAX_TREE_SIZE; i++){if (e == T[i]){return T[(i + 1)/2 - 1];/* 找到e */}}return NIL;/* 没找到e */}TElemType LeftChild(SqlBiTree T,TElemType e){/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 *//* 操作结果: 返回e的左孩子。若e无左孩子,则返回＂空＂ */int i;if(T[0] == NIL){ /* 空树 */return NIL;}for(i=0;i < MAX_TREE_SIZE; i++){if (e == T[i]){return T[i * 2 + 1];/* 找到e */}}return NIL;}TElemType RightChild(SqlBiTree T, TElemType e){/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 *//* 操作结果: 返回e的右孩子。若e无右孩子,则返回＂空＂ */int i;if(T[0] == NIL){ /* 空树 */return NIL;}for(i=0;i < MAX_TREE_SIZE; i++){if (e == T[i]){return T[i * 2 + 2];/* 找到e */}}return NIL;}TElemType LeftSibling(SqlBiTree T,TElemType e){/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 *//* 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂ */int i;if(T[0] == NIL){ /* 空树 */return NIL;}for(i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++){if (e == T[i] && i%2 == 0){return T[i-1];/* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */}}return NIL; /* 没找到e */}TElemType RightSibling(SqlBiTree T,TElemType e){/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 *//* 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂ */int i;if(T[0] == NIL){ /* 空树 */return NIL;}for(i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++){if (e == T[i] && i%2 != 0){return T[i+1];/* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */}}return NIL; /* 没找到e */}void Move(SqlBiTree q,int j,SqlBiTree T,int i) /* InsertChild()用到。加 */{ /* 把从q的j结点开始的子树移为从T的i结点开始的子树 */if(q[j*2+1] != NIL){/* q的左子树不空 */Move(q,j*2+1,T,i*2+1);/* 把q的j结点的左子树移为T的i结点的左子树 */}if(q[j*2+2] != NIL){/* q的右子树不空 */Move(q,j*2+2,T,i*2+2);/* 把q的j结点的右子树移为T的i结点的右子树 */}T[i] = q[j]; /* 把q的j结点移为T的i结点 */q[j] = NIL; /* 把q的j结点置空 */}Status InsertChild(SqlBiTree T,TElemType p,Status LR,SqlBiTree c){/* 初始条件: 二叉树T存在,p是T中某个结点的值,LR为0或1,非空二叉树c与T *//*           不相交且右子树为空 *//* 操作结果: 根据LR为0或1,插入c为T中p结点的左或右子树。p结点的原有左或 *//*           右子树则成为c的右子树 */int j,k,i=0;for(j = 0;j < (int)pow(2.0, BiTreeDepth(T)) - 1; j++){ /* 查找p的序号 */if(T[j] == p){ /* j为p的序号 */break;}}k = 2*j+1+LR; /* k为p的左或右孩子的序号 */if(T[k] != NIL){ /* p原来的左或右孩子不空 */Move(T, k, T, 2*k+2); /* 把从T的k结点开始的子树移为从k结点的右子树开始的子树 */}Move(c, i, T, k); /* 把从c的i结点开始的子树移为从T的k结点开始的子树 */return OK;}Status visit(TElemType e){printf("%d ",e);return OK;}Status(*VisitFunc)(TElemType); /* 函数变量 */void PreTraverse(SqlBiTree T,int e){ /* PreOrderTraverse()调用 */VisitFunc(T[e]);if(T[2*e+1] != NIL){ /* 左子树不空 */PreTraverse(T, 2*e+1);}if(T[2*e+2] != NIL){ /* 右子树不空 */PreTraverse(T, 2*e+2);} }Status PreOrderTraverse(SqlBiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){/* 初始条件: 二叉树存在,Visit是对结点操作的应用函数 *//* 操作结果: 先序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 *//*           一旦Visit()失败,则操作失败 */VisitFunc = Visit;if(!BiTreeEmpty(T)){ /* 树不空 */PreTraverse(T,0);}printf("\n");return OK;}void InTraverse(SqlBiTree T,int e){ /* InOrderTraverse()调用 */if(T[2*e+1] != NIL){ /* 左子树不空 */InTraverse(T,2*e+1);}VisitFunc(T[e]);if(T[2*e+2]!=NIL){ /* 右子树不空 */InTraverse(T,2*e+2);}}Status InOrderTraverse(SqlBiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){/* 初始条件: 二叉树存在,Visit是对结点操作的应用函数 *//* 操作结果: 中序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 *//*           一旦Visit()失败,则操作失败 */VisitFunc = Visit;if(!BiTreeEmpty(T)){ /* 树不空 */InTraverse(T,0);}printf("\n");return OK;}void PostTraverse(SqlBiTree T,int e){ /* PostOrderTraverse()调用 */if(T[2*e+1] != NIL){PostTraverse(T,2*e+1);}if(T[2*e+2] != NIL){PostTraverse(T,2*e+2);}VisitFunc(T[e]);}Status PostOrderTraverse(SqlBiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){ /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 *//* 操作结果: 后序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 *//*           一旦Visit()失败,则操作失败 */VisitFunc = Visit;if(!BiTreeEmpty(T)){ /* 树不空 */PostTraverse(T,0);}printf("\n");return OK;}void LevelOrderTraverse(SqlBiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){ /* 层序遍历二叉树 */int i = MAX_TREE_SIZE-1;int j;while(T[i] != NIL){i--;/* 找到最后一个非空结点的序号 */}for(j=0; j <= i; j++){/* 从根结点起,按层序遍历二叉树 */if (T[j] != NIL){Visit(T[j]);/* 只遍历非空的结点 */}}printf("\n");}void Print(SqlBiTree T){/* 逐层、按本层序号输出二叉树 */int j,k;position pos;TElemType e;for(j=1;j<=BiTreeDepth(T);j++){printf("第%d层: ",j);for(k=1;k<=pow(2.0,j-1);k++){pos.level = j;pos.order = k;e = Value(T,pos);if(e != NIL){printf("%d:%d ",k,e);}}printf("\n");}}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){Status i;int j;position p;TElemType e;SqlBiTree T,s;InitBiTree(T);CreateBiTree(T);printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));i=Root(T,&e);if(i)printf("二叉树的根为：%d\n",e);elseprintf("树空，无根\n");printf("层序遍历二叉树:\n");LevelOrderTraverse(T,visit);printf("中序遍历二叉树:\n");InOrderTraverse(T,visit);printf("后序遍历二叉树:\n");PostOrderTraverse(T,visit);printf("请输入待修改结点的层号 本层序号: ");scanf("%d%d",&p.level,&p.order);e=Value(T,p);printf("待修改结点的原值为%d请输入新值: ",e);scanf("%d",&e);Assign(T,p,e);printf("先序遍历二叉树:\n");PreOrderTraverse(T,visit);printf("结点%d的双亲为%d,左右孩子分别为",e,Parent(T,e));printf("%d,%d,左右兄弟分别为",LeftChild(T,e),RightChild(T,e));printf("%d,%d\n",LeftSibling(T,e),RightSibling(T,e));InitBiTree(s);printf("建立右子树为空的树s:\n");CreateBiTree(s);printf("树s插到树T中,请输入树T中树s的双亲结点 s为左(0)或右(1)子树: ");scanf("%d%d",&e,&j);InsertChild(T,e,j,s);Print(T);printf("删除子树,请输入待删除子树根结点的层号 本层序号 左(0)或右(1)子树: ");scanf("%d%d%d",&p.level,&p.order,&j);Print(T);ClearBiTree(T);return 0;}