画直线算法

         前段时间做了一下光栅直线生成算法的研究，并且在VC下实现了DDA算法、Bresenham算法、对称算法、两步算法、及四步算法。这里给个总结，希望和大家交流。

一 总述

       主要研究的算法主要有DDA算法、Bresenham算法、对称算法、两步算法、及四步算法，此外还对自适应多步位移码画线算法进行了一定研究。其中，DDA、Bresenham算法都是单步画线算法，其它是多步画线算法。

二 算法介绍

   DDA算法和Bresenham算法是经典的画线算法，并且业已证明Bresenham画线算法使用了最小的计算量，是最高效的单步画线算法，这里不再对其进行说明。以下对其余各个算法进行必要的说明。

1 对称直线生成算法

       对称直线生成算法基于这样一个事实：直线以中点位界，其两边是对称的。因而可以利用这个对称性，对Bresenham算法进行改进，使得每进行一次判断就可以生成相对于直线中点的两个对称点。如此以来，直线就由两端向中间生成。算法用C++语言描述如下：

       int x1 = m_start.m_x;  // 起点x

    int y1 = m_start.m_y;  // 起点y

    int x2 = m_end.m_x;    // 终点x

    int y2 = m_end.m_y;    // 终点y

    int dx = m_end.m_x - m_start.m_x;

    int dy = m_end.m_y - m_start.m_y;

    int dx2 = dx << 1;

    int dy2 = dy << 1;

    int e  = dy2 - dx;  // 决策量

    int half = (dx+1) >> 1;

    for (int i=0; i<half; i++)

    {

       pDC->SetPixel(x1, y1, color);

       pDC->SetPixel(x2, y2, color);

       if (e > 0)  // 当e>0时，始端y向加1，末端y向减1

       {

           y1++;

           y2--;

           e -= dx2;

       }

       //始端x向加1，末端x向减1

       x1++;

       x2--;

       e += dy2;

    }

2 两步算法

    两步画线算法每判断一次就生成两个点，这与对称算法相似，不同的是对称算法是从两端向中间进行的，而该算法是始终沿一个方向进行的，一次生成2个连续的点。当斜率k满足条件0≤k＜1时，考虑当前点P，如图1所示，直线与AB的交点一定落在AB区间的四等分中之一。

图1 下一待选点位置必在四个等分区间之一

       实际上，两个连续点可能出现的形式只有四种情况，即DD、DX、XD和XX。其中X表示沿水平方向移动一个像素，D表示沿对角方向移动一个像素，见图2。

图2 连续两点可能出现的4种形式

       决策量e的初值为e=4dy–dx，对于Pattern 1，e的增量为4dy-4dx； 对于Pattern 2和3，e的增量为4dy-2dx；对于Pattern 4， e的增量为4dy。算法用C++语言描述如下：

int x = m_start.m_x;  // 起点x

    int y = m_start.m_y;  // 起点y

    int dx = m_end.m_x - m_start.m_x;

    int dy = m_end.m_y - m_start.m_y;

    int dx2 = dx << 1;

    int dy2 = dy << 1;

    int dx4 = dx2 << 1;

    int dy4 = dy2 << 1;

    int inc4 = dy4 - dx4;

    int inc2 = dy4 - dx2;

   

    int e = dy4 - dx;

    pDC->SetPixel(x, y, color);

    for (int i=0; i<dx; i+=2)

    {  

       if (e > dx)

       {

           // Pattern 4

           if (e > dx2)

           {

              e += inc4;

              x++;

              y++;

              pDC->SetPixel(x, y, color);

              x++;

              y++;

              pDC->SetPixel(x, y, color);

           }

           // Pattern 3

           else

           {

              e += inc2;

              x++;

              y++;

              pDC->SetPixel(x, y, color);

              x++;

              pDC->SetPixel(x, y, color);

           }

          

       }

       else

       {

           // Pattern 2

           if (e > 0)

           {

              e += inc2;

              x++;

              pDC->SetPixel(x, y, color);

              x++;

              y++;

              pDC->SetPixel(x, y, color);

           }

           // Pattern 1

           else

           {

              x++;

              pDC->SetPixel(x ,y, color);

              x++;

              pDC->SetPixel(x, y, color);

              e += dy4;    

           }

       }  

    }  

    每计算一次e值就生成两个点，从而提高画线效率，但是要进行较多的判断，所以效率提高并不明显。

3 四步画线算法

    四步画线算法类似域两步画线算法，不同的时每判断一次，就生成四个点。如图3所示，直线一次前进四个点的情形。

图3 四步画线算法示意图

       对于四步画线算法，规的跟两步算法相似的表示方法，共有14种形式，如图4。

图4 连续四点肯能出现的14种形式

       图4中，自底向上依次是Pattern 1到Pattern 14，Pattern 1为XXXX，Pattern 2为XXXD，……，Pattern 14为DDDD。

       初始时，e=-dx， Pattern 1时e的增量为8dy；Pattern 2到Pattern 4时e的增量为8dy-2dx；Pattern 5到Pattern 8时e的增量为8dy-4dx；Pattern 9到Pattern 13时e的增量为8dy-6dx；Pattern 14时e的增量为8dy-8dx。鉴于代码过长，这里不再给出。

4 自适应多步位移码画线算法

       与传统的直线算法不同，自适应多步位移码画线算法首先将待绘制直线表达成一串由0和1组成的位移码，根据位移码的特点，自适应的确定一次生成的像素数目，从而获得更高的绘制效率。这里引入两个引理：

       引理1 设有从（x1, y1）到(x2, y2)的直线，0＜H＝y2-y1＜K＝x2-x1。那么在该直线的位移码中，相邻两个1之间连续0的数目w为[(K-H)/H]或[K/H]。[A]表示对A取整。

    引理2设有从（x1, y1）到(x2, y2)的直线，0＜H＝y2-y1＜K＝x2-x1。那么在该直线的位移码中，相邻两个0之间连续1的数目w为[H/(K-H)]或[K/(K-H)]。

       证明略。

这里给出自适应多步位移码画线算法的伪代码：

       K = x2 – x1;

       H = y2 – y1;

       T = [(K – 1)/2] – H;

       Divide(H, K – H, N, Tchg);

       x = x1;

       y = y1;

       WHILE x<= x2 DO

              IF T<0 THEN

                     y = y +1;

                     xend = x+N;

                     WHILE x<xend Do

                            DrawPixel(x, y);

                            x = x +1;

                     END WHILE

                     T = T+Tchg;

              ELSE

                     T = T – H;

                     DrawPixel(x, y);

              END IF

              x = x +1;

       END WHILE

       从理论而言，该算法根据直线斜率自适应地选择一个步长， 以一次判断生成多个采样点的方式对直线进行绘制，从而大大提供了绘制效率。但是实际上，连续两个1（0）中间0（1）的个数虽然只在两个整数上选择，但是到底在哪一步是哪一个难以判断，所以实现起来并不容易，而且目前尚未有解决方法。

三 算法效率

 

Bresenham

对称

两步

四步

加法

1

0.5

1

1

比较

2

1

1.5

1.3

加法和比较

3

1.5

2.5

2.3

乘法

2

3

4

6

       上表给出平均每步所进行的加法次数和比较次数，乘除次数是整算法总共的次数。DDA算法未在表中给出，它与Bresenham相似，但使用了多次浮点乘除运算和取整运算，效率明显低于其它算法。Bresenham与其它算法相比，加法步骤相当（对称算法除外），但比较次数较多。理论上而言，后面的算法效率较高。但是应该注意到多步算法，如两步和四步算法，在进行循环之前要做很多的初始化工作，而且乘除次数大于Bresenham算法。在进行较短直线绘制时，效率反而不如Bresenham算法快。

（一些算法的源程序较长，这里未给出。）