流网络浅析 By ACReaper

关于网络流，整整花了我一天时间，才看懂它再讲解什么，为了让初学者能更好理解，我打算写篇关于流网络的文章。

1.流之网络最大流模型

所谓的流网络其实也是图论的一部分，流网络是这样定义的，其每条边上都有两个值，一个称为flow流值，一个称为capacity，表示可通过的最大流值。

而，问题是这样的，在现实世界中，我们可以建立很多这样的模型，有一个起始点，我们称它为源点，还有一个点称为汇点，那么源点相当与现实世界中

的工厂，而汇点相当于仓库，每条边上可以看成是道路，而值capacity是这条路上所能流通的最大货物量，我们想求得能从源点发出的最大货量，而且汇点

所能接受到的最大货量等于源点发出的最大货量的值为多少，这就是流网络中的最大流模型！

在这个流网络中，我们同时又定义了一个函数f，表示流的函数，c表示容量函数，且有一下三条性质

1.f(x,y) <= c(x,y)   2.f(x,y) = -f(y,x), 3.在电脑上打不出来，即流入等于流出。

对于

1.很好理解。

2.的意思就是从x到y的流值，也可等价表示为重y到x的流的值的取负，这里f(x,y)可以为正，可以为负，可以为0.但是后面的c（x，y）一定是正的。

3.这个可以简单的这样理解，中间的结点都是中转结点，所以进来多上，可等要出去多少，不然在该结点就有积累，这样就不可能达到最大值，因为可以把这部分

积累的值转移到其它结点，这样总体的值必定不会小于原来有积累的值！

A。先在介绍一下残留网络，我在想这个名字真是难听！！！！！

所谓的残留网络其实是基于这样一个事实，就是我们想要知道每一条边还能在传送多少的流，我们把Cf表示为残留量其等于

Cf（x，y） = c（x，y） - f（x，y）。对于图中的两个任意结点，只要存在任意一个方向的边，那么求残留网络时就有两条边。

因为根据流网络的定义，如果边e 不属于边集E，则c(x,y) = 0,但是如果(y,x)属于边集，则就能求出两条边，一个是0 - f（y,x） = 0 + f(x,y)

另外一个是c(y,x) - f(y,x).这个是个难点注意理解了，这个里理解了也就差不多了。

B。增广路径

所谓的增广路，就是在残留网络的基础上，存在的简单路径(可能有多条),从s源点出发到汇点t。当然这条路径也要满足流网络的三个性质，也就是说

其实残留网络也是流网络！。还有当我们扩大流时，为要让每条边都能达到扩大的效果，必须取这条路上的最小C

即Cf（p） = min（cf（x，y）：（x，y）  is in p）

下面介绍Ford-Fulkerson方法，之所以不称他为算法，是因为实现这个方法所用的数据结构有多种。

Ford-Fulkerson(G,s,t){

initialize flow f to zero //初始化这个流网络的流为0

       while there exist an augmenting path p//如果存在增广路p

              do augment flow f along p//沿着这条增广路p扩大流f

       return f;//返回流，此时的流就是最大流。

}

基本的Ford-FULKERSON算法

Ford-FULKERSON(G，s，t)｛

for each edge(u,v) 属于E（G）

do f（u，v） = f（v，u） = 0;

        while there exists a path p frpm s to t in the residual network Gf//Gf就是残留网络

              do Cf（p） = min（cf（u，v）

         for each edge（u，v） in p

            do f（u，v） = f（u，v ） + Cf（p）

                 f（v，u） = -f（u，v）

｝

2013 05 02

By ACReaper