原码、反码、补码总结

一、常用数值编码（3种）

由于机器数在计算时，如果符号位和数值位同时参与运算，则可能会产生错误结果；而如果单独考虑符号问题，又会增加运算器件的实现难度。因此，为了使计算机能够方便地对数值进行各种算术逻辑运算，必须对数值型数据进行二进制编码处理。所谓编码是采用少量的基本符号（如0和1），按照一定的组合原则，来表示大量复杂多样的信息的技术。编码的优劣直接影响到计算机处理信息的速度。数值型数据的常用编码方法包括：原码、反码、补码。

（1）原码。原码的编码规则是：符号位0表示正，1表示负，数值部分用该数绝对值的二进制数表示。当整数时，小数点隐含在最低位之后；当纯小数时，小数点隐含在符号位和数值位之间，均不占位。通常用[X]_原表示数X的原码。

例如，设机器字长为8位，

[+1]_原 = 00000001        [+127]_原 = 01111111      [+0]_原 = 00000000

[– 1]_原 = 10000001       [– 127]_原 = 11111111      [– 0]_原 = 10000000

显然，按原码的编码规则，零有两种表示形式。

原码表示法简明易懂，与其真值的转换方便，比较容易进行乘除运算。但是在进行加减运算时，原码运算很不方便。由于符号位不能和数值一样参与运算，所以要根据两数的符号情况，同号相加，异号相减，还要根据两数的绝对值大小，令大数减去小数，最后还要判断结果的符号。这样不仅要求运算器既能作加法，又能作减法，还必须附加许多条件判断的处理，最终既增加了运算器的实现复杂性，又延长了运算的时间。

（2）反码。反码的编码规则是：符号位0表示正，1表示负，正数的反码等于原码，负数的反码等于原码除符号位外按位取反，即0变1、1变0。通常用[X]_反表示数X的反码。

例如，设机器字长为8位，

[+1]_反 = 00000001        [+127]_反 = 01111111      [+0]_反 = 00000000 

[– 1]_反 = 11111110         [– 127]_反 = 10000000    [– 0]_反 = 11111111

 

显然，按反码的编码规则，零也有两种表示形式。

反码很容易由原码获得，但同样不方便运算，一般在求补码的过程中用到反码。

（3）补码。补码的编码规则是：符号位0表示正，1表示负，正数的补码等于原码，负数的补码等于反码末位加1。通常用[X]_补表示数X的补码。

例如，设机器字长为8位，

[+1]_补 = 00000001        [+127]_补 = 01111111      [+0]_补 = 00000000

[– 1]_补 = 11111111         [– 127]_补 = 10000001    [– 0]_补 = 00000000

显然，按补码的编码规则，零有惟一的表示形式。

补码的概念来源于数学上的“模”和补数。例如，将钟表的时针顺时针拨快5小时和逆时针拨慢7小时，最后指示的位置相同，则称5和–7互为模12情况下的补数。计算机中机器数受机器字长限制，所以是有限字长的数字系统。对于整数来说，机器字长为n位（含符号位），模是2ⁿ；对于有符号纯小数来说，模是2。

求补运算通常利用反码来实现。

【例】 求X = +1011，Y = –1101的原码、反码和补码。

解[X ]_原 = 01011               [Y ]_原 = 11101

[X ]_反 = 01011               [Y ]_反 = 10010

[X ]_补 = 01011               [Y ]_补 = 10011

采用补码进行加减运算十分方便。通过对负数的编码处理，允许符号位和数值一起参与运算，可以把减法运算转化为加法运算。不论求和求差，也不论操作数为正为负，运算时一律只做加法，从而大大简化运算器的设计，加快了运算速度。

例如，(–9)+(–5)的运算如下：

[–9]_补 = 11110111                 11110111

[–5]_补 = 11111011          +     11111011

                                     111110010

因为机器字长的限制，丢失高位1，运算结果机器数为11110010，是–14的补码形式。

目前，由于计算机中最多的运算是加减运算，为了简化运算器设计，加快运算速度，有些计算机在数值表示、存储、运算时均采用补码表示法，也有些计算机，数用原码进行存储和传送，运算时采用补码，还有些计算机在进行加减法时采用补码运算，而在进行乘除法时采用原码运算。

二、精度和溢出

现代数字计算机是有限字长的数字系统，机器数表示的范围受到机器字长和数据类型的限制，一旦机器字长和数据类型确定了，机器数所能表示的数的范围和精度也就确定了。所谓精度，是指可以给出的有效数字的位数。一般来说，机器字长越长，可以表示的数的范围越大，精度越高；当字长相同时，浮点数通常比整数可以表示的数的范围要大；浮点数表示时，阶码位数越多，可以表示的数的范围越大，尾数位数越多，可以表示的数的精度越高。

如果一个数的大小超出了计算机所能表示的数的范围，则产生“溢出”。如果两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为“上溢”；如果两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为“下溢”。例如，字长为n位的有符号整数，最高1位为符号位，数值位为n–1位，用补码表示时，数的表示范围为–2^n–1~2^n–1–1，一旦运算时发生结果超出此范围的情况，就产生溢出。

三、补码加减法

补码补码举例  1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。
  主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补
  码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。
  2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。
  数值的补码表示也分两种情况：
  （1）正数的补码：与原码相同。
  例如，+9的补码是00001001。
  （2）负数的补码：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。
  例如，-7的补码：因为是负数，则符号位为“1”,整个为10000111；其余7位为-7的绝对值+7的原码
  0000111按位取反为1111000；再加1，所以-7的补码是11111001。
  已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：
  （1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，所以补码就是该数的原码。
  （2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，求原码的操作可以是：符号位为1，其余各位取
  反，然后再整个数加1。
  例如，已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）：因为符号位为“1”，表示是一个负
  数，所以该位不变，仍为“1”；其余7位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。
  在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”
  的概念：
  “模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范
  围，即都存在一个“模”。例如：
  时钟的计量范围是0～11，模=12。
  表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。
  “模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的
  余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。
  例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：
  一种是倒拨4小时，即：10-4=6
  另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6
  在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。
  对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特
  性。共同的特点是两者相加等于模。
  对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再
  加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的
  模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以
  了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。
  另外两个概念
  一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码
  而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。
  这里补充补码的代数加减运算：
  1、补码加法
  [X+Y]补 = [X]补 + [Y]补
  【例7】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补
  [X]补=00110011 [Y]补=11010111
  [X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010
  注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是
  100001010，而是00001010。
  2、补码减法
  [X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补
  其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是：对补码的每一位（包括符号位）求反，最后末位加“1”。
  这里补充补码的代数解释：
  任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
  这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)
  这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式，2^(n-1)-a＝(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。
  不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。
  注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0——2^8-1。
上面也不是非常具体，具体的参见http://ocw.guet.edu.cn/dept3/030206/%BD%CC%D1%A7%BF%CE%BC%FE/computer/chapter2/2.3/2.3.1.htm等网页或度娘。