约瑟夫环hdu 2925 Musical Chairs

约瑟夫环hdu  2925  Musical Chairs             http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2925

数学/模拟/递推

题目大意：经典约瑟夫环问题

题目分析（网上找的）：

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到m-1的退出

，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1）%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1

序列2：0,1,2,3 … k-2,k，…，n-2,n-1

序列3：k,k+1,k+2,k+3，…，n-2,n-1,0，1,2,3，…，k-2,

序列4：0,1,2,3 …，5,6,7,8，…，n-3,n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

得到 x‘=(x+m)%n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

递推公式：

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：（注意编号是0 -- n-1）

#include<stdio.h>int main(){int n,m,s,i;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n||m)){s=0;for(i=2;i<=n;i++)            s=(s+m)%i;printf("%d %d %d\n",n,m,s+1);}return 0;}

PS：向着此问题变种——hdu  1443进军！