§2 回归系数的最小二乘估计
来源:互联网 发布:中级数据库工程师真题 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 10:12
设分别为的最小二乘估计值, 于是的观测值
, , (2.1)
其中为误差的估计值, 称为残差或剩余。令为的估计值, 则有
, (2.2)
, , (2.3)
(2.3)式表示实际值与估计值的偏离程度。欲使估计值与实际值拟合的最好, 则应使残差平方和
达到最小, 为此, 我们可以应用微分求极值原理确定, 即解下列方程组
, (2.4)
即
, (2.5)
整理并化简则得以下正规方程组:
, (2.6)
如果记(2.6)式的系数矩阵为, 右端常数项矩阵记为, 则有
, (2.7)
, (2.8)
因此正规方程(2.6)的矩阵形式为
, (2.9)
或
, (2.10)
其中为正规方程中待定的未知实数向量, 如果系数矩阵满秩, 则存在, 此时有
, (2.11)
(2.11)式即为多元线性回归模型(1.2)式中参数的最小二乘估计。
正规方程组(2.6)亦可表达为下述另一种形式, 如果记
, ,
,
则由(2.6)式中第一等式可解出
, (2.12)
再将(2.12)代入到(2.6)其它各式中并经化简整理可得
, (2.13)
又由
, ,
, ,
如果记
, , (2.14)
, , (2.15)
则(2.13)式可以表示为
, (2.16)
(2.16)式称为正规方程组, 解此方程组可得, 再代入到(2.12)式中则得, 于是得回归方程
, (2.17)
(2.17)式称为回归超平面方程。
如果记(2.16)式的系数矩阵为, 右端常数项向量为, 则
,
,
且记, 则正规方程组(2.16)的矩阵形式为
, (2.18)
解(2.18)得
, (2.19)
再代回到(2.12), 则得到。
以下是一对多线性回归分析的两个例子。
例2.1 某养猪场估算猪的毛重, 测得14头猪的体长(cm)、胸围(cm)与体重(kg)数据如表1, 试建立与及的预测方程。
表2.1
序号
体长()
胸围()
体重()
1
41
49
28
2
45
58
39
3
51
62
41
4
52
71
44
5
59
62
43
6
62
74
50
7
69
71
51
8
72
74
57
9
78
79
63
10
80
84
66
11
90
85
70
12
92
94
76
13
98
91
80
14
103
95
81
经计算: , , , ,
,
,
,
,
,
于是正规方程组为
,
解此方程组得
, ,
又
,
因此所求预测回归方程为
回归方程中系数与的含义是体长每增加1cm, 则猪体重毛重平均增加0.522kg, 胸围每增加1cm, 则猪体重毛重平均增加0.475kg。
例2.2 某地区二化螟的第一代成虫发生量与四个因素有关, 这四个因素分别如下, 已知原始观测数据如表2.2, 试建立二化螟发生总量的回归方程。
: 冬季积雪期限(单位为周),
: 每年化雪日期(以2月1日为1),
: 二月份平均气温(℃),
: 三月份平均气温(℃),
: 二化螟发生总量(头),
经计算:
,
,
表2.2
序号
1
10
26
0.2
3.6
9
2
12
26
-1.4
4.4
17
3
14
40
-0.8
1.7
34
4
16
32
0.2
1.4
42
5
19
51
-1.4
0.9
40
6
16
33
0.2
2.1
27
7
7
26
2.7
2.7
4
8
7
25
1.0
4.0
27
9
12
17
2.2
3.7
13
10
11
24
-0.8
3.0
56
11
12
16
-0.5
4.9
15
12
7
16
2.0
4.1
8
13
11
15
1.1
4.7
20
154
347
4.7
41.2
312
11.8462
26.6923
0.3615
3.1692
24
,
于是
,
又
=24 + 0.99742×11.8462 + 1.62581×26.6923 + 11.19263×0.3615 + 16.95291×3.1692 = 136.98554,
因此所求二化螟发生总量的预测回归方程为
。
本系列转自:http://hutangao.blog.163.com/blog/static/4888314200982852442975/
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