阿里巴巴笔试题目之2013.5.5号战报交流问题分析(gossip problem)

原问题描述

    战报交流：战场上不同的位置有N个战士（N>4），每个战士知道当前的一些战况，现在需要这N个战士通过通话交流，互相传达自己知道的战况信息，每次通话，可以让通话的双方知道对方的所有情报，设计算法，使用最少的通话次数，是的战场上的n个士兵知道所有的战况信息，不需要写程序代码，得出最少的通话次数。

解答：

    笔试时候想到的是：

    N-1个人围成一个环，将知道的消息告诉都第N个人，需要N-1次，同时第N-1个人与第N个人交流时，两人互相交流消息，这样子第N-1与第N个人都知道了所有人的信息，接下来第N-1人沿着环将消息传递下去，需要N-2次。 所以需要N-1+(N-2)=2N-3.

   但是实际上这个问题有着更优的解法。

 

扩展的一类问题：

题目:假如我们班有n个MM，每一个MM都有一个独家八卦消息。两个MM可以通过电话联系，一通电话将使得双方都获知到对方目前已知的全部消息。要想所有n个MM都知道所有n条八卦消息，最少需要多少通电话？请给出你们的通话方案。

(来自博客Matrix67：http://www.matrix67.com/blog/archives/1078以及百度文库：http://wenku.baidu.com/view/7f1b25c54028915f804dc22c.html)

解答：

1.分析情况

当n很小时我们很容易通过枚举的方法找出最佳通话方案：

A1=0,A2=1,A3=3，A4=4，A5=6，A6=8

2.基于中间消息传递人的思想建模

可以先把所有消息集中于一个或几个人，然后再由这些消息汇总人把消息传给所有人。设n个MM中有m个消息汇总人，她们共享所有消息需要打An通电话。

通话方案如下：

第一步，剩下的n-m个MM每人从m个消息汇总人中随机选择一个人通电话。这样一来m个消息汇总人就掌握了所有n条八卦消息，并且她们每人所掌握的消息互不重叠，是互补的。

第二步，m个消息汇总人通过打电话共享所有八卦消息。

第三步，作为消息汇总人的m个MM再通过电话将自己新得知的八卦新闻告知最开始打电话给自己的MM，使她们也掌握所有n条消息。

模型如下：

 

3.模型分析

按照上面的通话方案，第一步需要n-m通电话，第二步需要Am通电话，第三步需要n-m通电话。

故有An=2*（n-m）+Am，进一步化简得

An=2*n-（2*m-Am）。

即当MM的个数为n时，共享所有八卦消息共需要2*n-（2*m-Am）通电话。若要使通话次数最小，就要求2*m-Am最大。因此取多少个MM作为消息汇总人能使得2*m-Am最大就成为解决这个问题的关键，它反映了MM们之间通话的效率。记Em=2*m-Am。

当有一个消息汇总人即m=1时，E1=2*1-A1=2;

当有两个消息汇总人即m=2时，E2=2*2-A2=3；

                     m=3时，E3=2*3-A3=3；

                     m=4时，E4=2*4-A4=4；

                     m=5时，E5=2*5-A5=4；

                     m=6时，E6=2*6-A6=4；

                      ……

由归纳法知当M>=4时Em有最大值4、An有最小值2*n-4，即当有大于或等于4个消息汇总人时可通过上述通话方案使n个MM通过最少的电话数共享所有八卦消息。此时共需要2*n-4次通话。

4.模型验证

关于这个问题的证明，需要用到反证法的思想。 最常见的证明由Brenda Baker和Robert Shostak在1972年给出。下面给出来自matrix67的证明。

证明的关键在于这个引例：如果我们可以在2n-5次电话以内达到要求，则整个过程中绝对不会有人在电话中听到对方八卦自己的消息。我们将用反证法来证明这一点。首先找出最小的n使得n个人可以在2n-5次通话中传遍消息。如果某个人G听到了自己的消息，表明整个过程中存在这么一条通话线路：(G - G₁)(G₁ - G₂)...(G_r - G)。现在，我们把G这个人去掉，再重新安排一些通话线路，使得剩下的n-1个人同样能在2(n-1)-5次通话后传遍信息，从而与n的最小性矛盾。直接忽略上述“通话环”中的(G - G₁)和(G_r - G)两条边。对于其他某个人P和G之间的通话(P-G)，找出(P-G)通电后最先出现的“通话环”中的其中一链（比如(G_i - G_i+1)）。在新方案中，让P把电话打给G_i。这样，原方案中任何一条由P₁带给G再带给P₂的消息，都由对应的G_i、G_j以及他们之间的链条来完成，即(P₁- G_i)(G_i - G_i+1) ... (G_j - P₂)。新方案与原方案一样满足要求，且通话次数减少了两次，同样小于等于2n-5。

每个人都不会听到自己的消息，这可以推出一个很有趣的东西：记一通电话的双方为A和B，则要么A和B都还没打完，要么这通电话对双方来说都是最后一通。原因很简单，假如这通电话是A的最后一电，这表明A和B都知道了所有的消息，但B还要给别人打电话，别人就会听到自己的消息。类似地，一通电话的双方要么都是第一次打，要么都不是第一次打：假如A的第一通电话是跟B打的，但B之前已经和C通过话了，那A的消息将永远与C的消息一起传递，因此最终C听到A的消息时也会听到她自己的。
于是，对于所有电话次数不超过2n-5的情况，n只能是偶数。并且情况只可能是这样：先两两配对拨打n/2通“处女电”，然后中间打很多“中介电话”，最后再两个两个地打n/2个“最后一电”。由于所有的“处女电”和“最后一电”加起来恰好有n通，那么“中介电话”最多只能有n-5通。又由于连通所有n个点至少要n-1条边，可知这些“中介电话”构成了至少5个连通分量。对于任何一个人来说，在任何“最后一电”拨打之前，她的消息最多只能够在其中两个连通分量内传递（她所在的连通分量和她“处女电”的对象所在的连通分量）；类似地，所有“处女电”都打完了后，每个人都只能收到两个连通分量内的消息（她自己的和“最后一电”的对象的）。对于一个特定的人G来说，除去她自己、“处女电”的对象和“最后一电”的对象所在的连通分量，至少还有两个连通分量，里面的所有“中介电话”对她没有任何意义：这些“中介电话”既不会把她的消息传出去，也不会把别人的消息带给她。设与G不相干的电话通数为c(G)。
反过来，又有多少通电话与G有关呢？让我们继续把目光停留到G身上。要想把她的消息传给所有人，至少需要n-1通电话；要想让所有消息都传到她那里，同样也得要n-1通电话。某些电话可以同时起到这两种作用，但有一个前提条件：这些电话必需是她亲自打的。否则，她自己的消息将“捆绑”进那些将会传给她的消息里，从而与引理矛盾。假设她自己打了v(G)通电话，那么总共有2n-2-v(G)通电话负责传出她的消息并把别人的消息传给她。由2n-5 ≥ 2n-2-v(G)+c(G)可知v(G) ≥ 3+c(G) ≥ 3。既然每个人都打了至少3次电话，这表明每个人都打过“中介电话”，直接推出每个连通分量都有至少一条边。前面说了，c(G)包含了至少两个连通分量中的所有边，因此c(G)≥2。因此，v(G)≥5。每个人都打了至少5次电话？这当然是不可能的，这将导致总的电话数目比2n还大了。

5.模型结果

 

 

题目中如果告诉n大于4，那么结果就是2n-4。