随机版的快速排序分析方法

随机版的快速排序(Randomized Quicksort)。

• 运行时间不依赖于输入的排序情况
• 最坏情况仅由随机数的生成决定

      通常的做法是随机地选择主元(pivot)。

T(n)为渐近运行时间，其期望值(Expectation)为E[T(n)]，我们希望对所有的输入，找出这个期望值。

对k=0，1，2，...，n-1，我们定义一个0-1随机变量X_k：

X_k = 1  // 如果PARTITION分割成k:n-k-1

          0  // 如果不是的话

X_k的期望E[X_k] = 1*Pr{X_k = 1} + 0*Pr{X_k=0} = Pr{X_k=1} = 1/n。而T(n)可以写成：

 

这个递归式有n种情况，我们可以借助0-1变量来处理：

当确定了其中的一个划分方式k:n-k-1时，有X_k=1, X_1,X_2,,,,,,X_k-1,X_k+1,,,,,这些全为0.即下面的式子可以表示上面的n条式子

这样E[T(n)]可以写成：

因为E[T(0)]=Theta(1)，E[T(1)]=Theta(1)，(T(n)为渐近运行时间,当只有0个或者1个数字时，可以在theta(1)时间内完成排序)为了计算方便，将最后一个和式中的k=0，k=1吸收到Theta(n)中去(只是将后一项的常系数变大一些)：

剩下的就是使用替换法证明E[T(n)] <= anlgn，a>0。这里先证明基本情况，当a取足够大的值，而k取足够小的值，则可以实现下面的式子成立。即

E[T(k)] <= aklgk在a,k取合适值时成立（已知条件,意即假设这个条件是成立的，然后去证明这个条件确实成立，则结论是正确的，抽象，但是，是对的。举个简单的例子，不妨猜测E[T(k)] <= aklgk成立，原先我们不知道它是不是成立，但是不妨先假设它成立，然后，将它代入式子的右端，通过推导，如果推出的结果是左端E[T(n)] <= anlgn成立，则说明我们一开始的猜测是正确的）（1）

这里可以看出我们将k=0,1吸收到Theta(n)中的好处，因为lg0无法处理，lg1=0。我们还需要用到一个事实，它的证明见点击打开链接

 

将E[T(k)]代入E[T(n)]可得：用(1)式代入E[T(k)]