动态规划---->每对定点之间的最短路径 Floyd(弗洛伊德)算法
来源:互联网 发布:阿里云客服电话 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 00:35
最短路径
1、问题描述
设G = ( V, E)是一个有n 个结点的有向图。又设C 是G 的成本邻接矩阵, 其中C(i,i)= 0 , 1≤i≤n; 当〈i,j〉∈E (G)时, C( i,j) 表示边〈i,j〉的长度(或成本) ; 当i≠j 且〈i,j〉| E(G)时, C( i ,j) = ∞。每对结点之间的最短路径问题( all pair s shor test path problem) 是求满足下述条件的矩阵A: A 中的任何元素A(i,j) 是代表结点i到结点j的最短路径的长度
2、所有顶点间的最短路径—--用Floyd(弗洛伊德)算法
问题的提出:已知一个各边权值均大于0的带权有向图,对每一对顶点 vi¹vj,希望求出vi与vj之间的最短路径和最短路径长度。
解决思路:可以通过调用n次Dijkstra算法来完成,但时间复杂度为O(n3)。
改进: 弗洛伊德(Floyd)算法
算法思想:逐个顶点试探法
求最短路径步骤
1、初始时设置一个n阶方阵,令其对角线元素为0,若存在弧<Vi,Vj>,则对应元素为权值;否则为µ
2、逐步试着在原直接路径中增加中间顶点,若加入中间点后路径变短,则修改之;否则,维持原值
3、所有顶点试探完毕,算法结束
例子
Floyd 算法的程序的简单描述:
int i, j,k; // 标识结点
for (i=0; i<n; i++)
for (j=0; j<n; j++) A[i,j] = C[i,j];
for (i=0; i<n; i++ ) A[i,i] = 0;
for (k=0; k<n; k++)
for (i=0; i<n; i++)
for (j=0; j<n; j++)
if (A[i,k]+A[k,j]<A[i,j])
A[i,j]=A[i,k]+A[k,j];
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