读书笔记Black-Scholes-Merton之一

       在得知deadline并非那么hard之后，我又原形毕露了，不过还是下定决心要好好钻研一番专业知识。这段时间的课外读物定为 More money than God，很早就想看这本书了，去年看完了 The big short 和 Too big to fail 时一度很有感觉，后来被MWG打败了。现在也不知道微观到底学了点什么。。。

       重新拿起John Hull的Options, futures and other derivatives, 油管上研究了一天的Black-Scholes推导也没头绪，想看看大神怎么阐述，没想到还是一知半解，从Ch12的Wiener Processes and Ito's Lemma开始看。Markov过程勉强能理解，每一个时点都包含了以前的所有信息，其实也是弱市场理论的观点，这样股价变动在随机游走过程中的波动率就是与时间长度成线性正相关的。比如假设股票一年后的价格变化呈正态分布，那么两年后的价格变化的波动率就乘以2，标准差则与时间长度的平方根相关。这是因为股票一年后的价格是某一个值，而站在一年后的时点再往后看，股票的价格变化只与这个股价有关，而与之前一年的无关，因而这两年的价格变化是两个独立的正态分布，将它们加起来就可以得到两年内价格变化的分布。这个均值变化为0，方差为1的变量的运动被称为维纳过程，在物理学中被称为Brownian motion. 在任意两个段时间内的变化是相互独立的， 也就是独立增量过程。

      将Wiener Process一般化，drift rate不再为0而是a, variance rate不是1而是b：

                                            dx=adt+bdz 

      Ito Process将随机过程描述地更宽一些，a与b可以是x和t的函数：

                                      dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz 

      如果是模拟股价的过程：

                                       dS=μSdt+σSdz

      其中μ是预期收益率，因为股价符合Wiener Process的假设不合常理，投资者不管股价是10刀还是50刀，而是以百分之多少的收益率来衡量，dS/S因而作为维纳过程的变量，σ是波动率。股价可以用Monte Carlo进行模拟，用Excel模拟结果：

      今天必须得早睡了，明天继续。。。