主成份(PCA)与奇异值分解(SVD)的通俗解释

主成分分析

1.问题描述  

在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。

 

2.过程

主成分分析法是一种数据转换的技术，当我们对一个物体进行衡量时，我们将其特征用向量（a1,a2,a3,...an）进行表示，每一维都有其对应的variance（表示在其均值附近离散的程度）；其所有维的variance之和，我们叫做总的variance；我们对物体进行衡量时，往往其特征值之间是correlated的，比如我们测量飞行员时，有两个指标一个是飞行技术（x1）,另一个是对飞行的喜好程度（x2），这两者之间是有关联的，即correlated的。我们进行PCA（主成分分析时），我们并没有改变维数，但是我们却做了如下变换，设新的特征为（x1,x2,x3...,xn）;

其中

1)x1的variance占总的variance比重最大；

2)除去x1,x2的variance占剩下的variance比重最大；

....

依次类推；

最后，我们转换之后得到的(x1,x2,...xn)之间都是incorrelated，我们做PCA时，仅取（x1，x2,....xk）,来表示我们测量的物体，其中，k要小于n。主成分的贡献率就是某主成分的方差在全部方差中的比值。这个值越大，表明该主成分综合X1，X2，…，XP信息的能力越强。如果前k个主成分的贡献率达到85%，表明取前k个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息，这样既减少了变量的个数又方便于对实际问题的分析和研究。

    注意，当（a1,a2,a3,...an）之间都是incorrelated时，我们就没有做PCA的必要了

 

数据点在上图所示的方向上进行投影后，数据仍然有着很大的variance,但在下图所示的方向上，投影后的数据的variance就很小。

我们所需要做的就是找到这一系列的向量，使得数据在其上的投影有着较大的variance。

 

3.数学描述

  为了能够找到这一系列的向量，我们对数据进行预处理

1) Alcohol 
2) Malic acid 
3) Ash 
4) Alcalinity of ash 
5) Magnesium 
6) Total phenols 
7) Flavanoids 
8) Nonflavanoid phenols 
9) Proanthocyanins 
10)Color intensity 
11)Hue 
12)OD280/OD315 of diluted wines 
13)Proline

样本数为130，在matlab下按照以上步骤，进行PCA，得到的特征值如下：

选取前k个特征值使得前k个主成分的贡献率达到85%，计算得到的结果为k=1，其对应的特征向量为u=

令X=X*u即可得到新的X，其中X原来维数为130×13，进行PCA后的维数为130×1。