二进制、八进制、十进制、十六进制之间的转换

一、 十进制与二进制之间的转换 

（1） 十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分：

① 整数部分 
方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。

例：将十进制的168转换为二进制 ，（168）10=（？）2

168/2=84，余0

84/2=42，余0

42/2=21，余0

21/2=10，余1

10/2=5，余0

5/2=2，余1

2/2=1，余0

1/2=0，余1

读数就从最后的余数开始向前读，即10101000。

故（168）10=（10101000）2

 ②小数部分 
方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分 
为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数。 

例1：将0.125换算为二进制 

0.125*2=0.25

0.25*2=0.5

0.5*2=1.0

读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

故（0.125）10=（0.001）2 


例2,将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位） 


大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差，但是由于保留位数很多，精度很高，所以可以忽略不计。 

那么，我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111

即：

0.45*2=0.9

0.9*2=1.8

0.8*2=1.6

0.6*2=1.2

0.2*2=0.4

故（0.45）10=（0.0111）2

上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法，需要大家注意的是： 
1） 十进制转换为二进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换 
2） 当转换整数时，用的除2取余法，而转换小数时候，用的是乘2取整法 
3） 注意他们的读数方向 

因此，我们从上面的方法，我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数168.45转换为二进制数约等于10101000.0111。 

（2） 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分： 

方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。

例1：将二进制数101.101转换为十进制数。 

0101.1010=（2^2+2^0）.（2^-1+2^-3）=5.625

得出结果：（101.101）2=(5.625)10 

例2：将二进制01100100转换为十进制

第0位 0 x 2^0 = 0  　　

第1位 0 x 2^1 = 0  

第2位 1 x 2^2 = 4  

第3位 0 x 2^3 = 0  

第4位 0 x 2^4 = 0  

第5位 1 x 2^5 = 32  

第6位 1 x 2^6 = 64  

第7位 0 x 2^7 = 0  

再相加即100

故（01100100）2=（100）10

大家在做二进制转换成十进制需要注意的是 

1） 要知道二进制每位的权值 

2） 要能求出每位的值 

二、 二进制与八进制之间的转换 

首先，我们需要了解一个数学关系，即2^3=8，2^4=16，而八进制和十六进制是用这 
关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。 
接着，记住4个数字8、4、2、1（2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1）。现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。 
（1） 二进制转换为八进制 
方法：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，得到的数就是一位八位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。

例 1  将二进制数101110.101转换为八进制 

101 110 . 101

2^2+0+2^0  2^2+2^1+0 . 2^2+0+2^0

56.5

得到结果：将101110.101转换为八进制为56.5 

例2  将二进制数1101.1转换为八进制 

001 101 . 100

15.4

得到结果：将1101.1转换为八进制为15.4 

（2） 八进制转换为二进制 
方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。

例：将八进制数67.54转换为二进制 

因此，将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100，即110111.1011 

6=4+2+0   110

7=4+2+1   111

5=4+0+1   101

4=4+0+0   100

即 （67.54）8=（110111.1011）2

大家从上面这道题可以看出，计算八进制转换为二进制 
首先，将八进制按照从左到右，每位展开为三位，小数点位置不变 
然后，按每位展开为2^2，2^1，2^0（即4、2、1）三位去做凑数，即a×2^2+ b×2^1 +c×2^0=a×4+b×2+c×1=该位上的数（a=1或者a=0，b=1或者b=0，c=1或者c=0）,将abc排列就是该位的二进制数 
接着，将每位上转换成二进制数按顺序排列 
最后，就得到了八进制转换成二进制的数字。 

以上的方法就是二进制与八进制的互换，大家在做题的时候需要注意的是 
1） 他们之间的互换是以一位与三位转换，这个有别于二进制与十进制转换 
2） 大家在做添0和去0的时候要注意，是在小数点最左边或者小数点的最右边（即整数的最高位和小数的最低位）才能添0或者去0，否则将产生错误 。

三、 二进制与十六进制的转换 

方法：与二进制与八进制转换相似

（1） 二进制转换为十六进制 
方法：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，得到的数就是一位十六位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。 

例1：将二进制11101001.1011转换为十六进制 

1110 1001 . 1011

8+4+2+0 8+0+0+1 .8+2+1

14  9  .  11

E9.B

得到结果：将二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B 
即（11101001.1011）2=（E9.B）16

例2：将101011.101转换为十六进制 

0010 1011 . 1010

2 8+2+1 . 8+2

2 11 . 10

2B.A
得到结果：将二进制101011.101转换为十六进制为2B.A 

即（101011.101）2=（2B.A）16

(2)十六进制转换为二进制 
方法：取一分四法，即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。 

例：将十六进制6E.2转换为二进制数

6  E  .  2

4+2  8+4+2  .  2

0110  1110 .0010

得到结果：将十六进制6E.2转换为二进制为01101110.0010 即110110.001 

即（6E.2）16=(1101110.001)2

四、八进制与十六进制的转换 

方法：一般不能互相直接转换，一般是将八进制（或十六进制）转换为二进制，然后再将二进制转换为十六进制（或八进制），小数点位置不变。

五、八进制与十进制的转换 
（1）八进制转换为十进制
方法：按权相加法，即将八进制每位上的数乘以位权，然后相加之和即是十进制数。 
例：将八进制数67.35转换为十进制

6×8^1+7×8^0   .  3×8^-1+5×8^-2

55.453125

即（67.35）8=（55.453125）10

（2）十进制转换为八进制 
十进制转换成八进制有两种方法： 
1）间接法：先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成八进制 
2）直接法：前面我们讲过，八进制是由二进制衍生而来的，因此我们可以采用与十进制转换为二进制相类似的方法，还是整数部分的转换和小数部分的转换，下面来具体讲解一下： 
①整数部分 
方法：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。 
②小数部分 
方法：乘8取整法，即将小数部分乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以8，一直取到小数部分为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，暂取个名字叫3舍4入。 

例：将十进制数796.703125转换为八进制数 

解：先将这个数字分为整数部分796和小数部分0.703125 
整数部分 796

796/8=99 余4

99/8=12 余3

12/8=1 余4

1/8=0 余1
        从最后的余数开始往前面读，即1434
小数部分 0.703125

0.703125*8=5.625

0.625*8=5.000

从靠近小数点的整数部分开始读，即0.55

故（796.703125）10=（1434.55）8

六、十进制与十六进制的转换 

（1）十六进制转换为十进制 
例：将十六进制 2AF5转换成10进制  
解：用竖式计算：  
       2AF5
第0位： 5 * 16^0 = 5  
第1位： F * 16^1 = 240  
第2位： A * 16^2 = 2560  
第3位： 2 * 16^3 = 8192 
 相加即 10997

直接计算就是：  
5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997  
（A=10，B=11，C=12，D=13，E=14，F=15） 

（2）十进制转换为十六进制 
10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一不同的是：除数由2变成16。就是大于15小于256的十进制数除以16为的值为十位的十六进制数，其余数为个位的十六进制数，没有余数则个位为“0”。  
例：将（61）10转换为十六进制  
61/16＝3  余13  
“3”作十位数，13转成D为个位数，  
得结果（61）10＝（3D）16。  

        本文介绍了二进制、十进制、八进制、十六进制四种进制之间相互的转换，大家在转换的时候要注意转换的方法，以及步骤，特别是十进制转换为期于三种进制之间，要分为整数部分和小数部分：其他进制转换到十进制，全部是各进制按权数的n-1次方展开并求和；十进制转换为其他进制，则是“除 各进制数基数 取余法”，直至商为零，然后将所有余数从后向前排列。