【算法导论之五】散列表

1.  直接寻址表的局限，散列表的产生

     直接寻址表：当关键字的全域U比较小时，直接寻址是一种简单有效的技术。假设某应用用到一个动态集合，其中每个元素都有一个取自全域U=｛0，1，... ，m-1｝的关键字，此处的m是一个不很大的数。另外假设，没有两个元素具有相同的关键字。

     为表示动态集合，我们用一个数组（或称直接寻址表）T[0..m-1]，其中每个位置（或称为槽）对应全域U中的一个关键字。即：槽 k 指向一个关键字为 k 的元素，如果该集合中没有关键字为 k 的元素，则 T[ k ] = NIL 。对于它的字典操作：insert() , search() , delete()执行很快，只需要O( 1 ) 的时间。

     但是直接寻址技术存在一个很大的问题：如果域U很大，在一台典型计算机的可用内存容量限制下，要在机器中存储大小为|U|的一张表 T 就有点不实际了。而当存储在字典中的关键字集合K比所有可能的关键字域U要小很多时，散列表需要的存储空间要比直接寻址表少很多。   

     散列表(Hash table)，使用具有m个槽位的数组来存储大小为n的动态集合。α=n/m被定义为散列表的装载因子。在散列表中，具有关键字k的元素的下标为h(k)，即利用散列函数h，根据关键字k计算出槽的位置。散列函数h将关键字域[0..p]映射到散列表[0..m-1]的槽位上，这里，m可以远小于p，从而缩小了需要处理的下标范围，并相应地降低了空间开销。散列表带来的问题是：两个关键字可能映射到同一个槽上，这种情形称为碰撞。因此，散列函数h应当将每个关键字等可能地散列到m个槽位的任何一个中去，并与其它关键字已被散列到哪一个槽位中无关，从而避免或者至少最小化碰撞。

2. 散列函数    

  多数散列函数都假定关键字域为自然数集。如果所给关键字不是自然数，则必须有一种方法将它们解释为自然数。这里，介绍三种主要的散列函数：

      除法散列法：通过取k除以m的余数，来将关键字k映射到m个槽的某一个中去，即散列函数为： h(k) = k mod m

当应用除法散列法时，要注意m的选择，这也是除法散列法的主要缺点。m不应是2的幂，因为如果m=2^p，则h(k)就是k的p个最低有效位。相反，散列函数应该考虑关键字的所有位。可以选作m的值通常是与2的整数幂不太接近的质数。

 乘法散列法：首先，用关键字k乘上常数A(0<A<1)，并抽取kA的小数部分；然后，用m乘以这个值，再取结果的底(即整数部分)。散列函数可表达为：h(k) = ⌊m(kA mod 1)⌋

乘法方法的一个优点是对m的选择没有特别的要求，一般选择它为2的某个幂次(m=2^p)。该方法对任何的A值都适用，但对某些值效果更好。A=(sqrt(5)-1)/2=0.6180339…是一个比较理想的值。

  全域散列(universal hashing)：在执行开始时，从一族仔细设计的函数中，随机地选择一个作为散列函数。这里的随机选择针对的是一次对散列表的应用，而不是一次简单的插

入或查找操作。散列函数的确定性，是查找操作正确执行的保证。全域散列法确保，当k!=l时，两者发生碰撞的概率不大于1/m。设计一个全域散列函数类的方法如下，该方法

中，散列表大小m的大小是任意的。

选择一个足够大的质数p，使得每一个可能的关键字都落在0到p-1的范围内。设Z_p表示集合{0, 1, …, p-1}，Z_p^*表示集合{1, 2, …, p-1}。对于任何a∈Z_p^*和任何b∈Z_p，定义散列函数h_a,b

           h_a,b = ((ak+b) mod p) mod m

           所有这样的散列函数构成的函数族为：H_p,m = {h_a,b : a∈Z_p^*和b∈Z_p}

           由于对a来说有p-1种选择，对于b来说有p种选择，因而，H_p,m中共有p(p-1)个散列函数。

3. 解决碰撞的方法   

         链接法(chaining)：把散列到同一槽中的所有元素都存放在一个链表中。每个槽中有一个指针，指向由所有散列到该槽的元素构成的链表的头。如果不存在这样的元素，则指针为空。如果链接法使用的是双向链表，那么删除操作的最坏情况运行时间与插入操作相同，都为O(1)，而平均情况下一次成功的查找需要Θ(1+α)时间。

        开放寻址法(open addressing)：所有的元素都存放在散列表中。因此，适用于动态集合大小n不大于散列表大小的情况，即装载因子不超过1。否则，可能发生散列表溢出。在开放寻址中，当要插入一个元素时，可以连续地探查散列表的各项，直到找到一个空槽来放置待插入的关键字。探查的顺序不一定是0, 1, …, m-1，而是要依赖于待插入的关键字k。于是，将探查号作为散列函数的第二个输入参数。为了使所有的槽位都能够被探查到，探查序列<h(k,0), h(k,1), …, h(k,m-1)>必须是<0, 1, …, m-1>的一个排列。有三种技术常用来计算开放寻址法中的探查序列：线性探查、二次探查，以及双重探查。

        线性探查(linear probing)：使用的散列函数如下：h(k,i) = (h’(k) + i) mod m, i=0, 1, …, m-1

h’为一个普通的散列函数，见前面的介绍。线性探查存在一个称为一次群集的问题，即随着时间的推移，连续被占用的槽不断增加，平均查找时间也随着不断增加。但是，线性探查的优点在于，对m的取值没有特殊的要求。

         二次探查(quadratic probing)：使用的散列函数如下：h(k,i) = (h’(k) +c₁ i + c₂ i²) mod m, i=0, 1, …, m-1

为了能够充分利用散列表，c₁、c₂和m的值要受到限制。一种好的选择是，m为2的某个幂次(m=2^p)，c₁=c₂=1/2。二次探查，不会顺序地探查每一个槽位，解决了一次群集问题。但是，如果两个关键字的初始探查位置相同，那么它们的探查序列也是相同的，这一性质导致一种程度较轻的群集现象，称为二次群集。

         双重散列(double hashing)：使用的散列函数如下：h(k,i) = (h₁(k) + i h₂(k)) mod m, i=0, 1, …, m-1

为能查找整个散列表，值h₂(k)要与表的大小m互质。确保这一条件成立的一种方法是取m为2的幂，并设计一个总能产生奇数的h₂。另一种方法是取m为质数，并设计一个总是产生较m小的正整数的h₂。例如，可以取m为质数，h₂(k)=1+(k mod m’)，m’=m-1。

4.  采用乘法散列作为哈希函数以及链接法实现散列表的代码：

#include <iostream>using namespace std;#define HASH_CONSTANT 0.6180339/*********** The struction of Hash node************/typedef struct hash_node{    int key ;    struct hash_node *prev ;    struct hash_node *next ;}hash_node_list;/* * @function:create hash table of size  * @return: hash_node_list* * @parameter:int hash_table_size*/hash_node_list* create_hash_table(int hash_table_size){    int i ;    hash_node_list* my_hash_table;    my_hash_table = (hash_node_list*)malloc(hash_table_size*sizeof(hash_node_list));    for(i=0 ; i<hash_table_size ; i++)    {       my_hash_table[i].key = 0;       my_hash_table[i].prev = NULL ;       my_hash_table[i].next = NULL ;    }       return my_hash_table;} /* *@function:compute the value of hash by the hash_func *@parameter:int hash_table_size , int key *@return: int h(k)*/int hash_func(int hash_table_size,int key){   return (int)(hash_table_size*((key*HASH_CONSTANT)-(int)(key*HASH_CONSTANT)));}/* *@function: insert a key to the hash table *@parameter: int hash_table_size ; int key ; hash_node_list* hash_node_list *@return: void*/void hash_table_insert(hash_node_list* hash_node_list,int hash_table_size,int key){   int index;   hash_node* node;   index = hash_func(hash_table_size,key);   node = (hash_node*)malloc(sizeof(hash_node_list));   node->key = key ;   node->next = NULL;   node->prev = &hash_node_list[index];   if(node->next!=NULL)        node->next->prev = node;   node->next = hash_node_list[index].next;   hash_node_list[index].next = node ;}/* *@function:search key in hash table *@parameter:... *@return: the pointer of searchable node or NULL*/hash_node_list* hash_table_search(hash_node_list* hash_node_list,int hash_table_size,int key){   int index ;   hash_node* node;   index = hash_func(hash_table_size,key);   node = hash_node_list[index].next;   while(node!=NULL)   {      if(node->key == key)         return node;      node = node->next;   }   return NULL ;}/* *@function:Exit of hash_table*/void exit_of_hash_table(hash_node_list* hash_node){   hash_node->prev->next = hash_node->next;   if(hash_node->next!=NULL)      hash_node->next->prev = hash_node->prev;}/* *@function: free the hash table *@parameter: hash_node_list , hash_table_size *@return: null*/void free_hash_node(hash_node_list* hash_node_list , int hash_table_size){   int i ;   hash_node* node;   for(i=0 ; i< hash_table_size ; i++)   {      while(hash_node_list[i].next!=NULL)      {          node = hash_node_list[i].next;          exit_of_hash_table(hash_node_list[i].next);          free(node);          node = NULL ;      }   }   free(hash_node_list);   hash_node_list = NULL ;}void print_hash_table(hash_node_list* hash_node_list , int hash_table_size){   int i ;   hash_node* node ;   printf("Hash Table:");   for(i=0 ; i<hash_table_size ; i++)   {        printf("\nSlot:%d",i);        node = &hash_node_list[i];        while(node->next!=NULL)        {            printf("\n%d ",node->next->key);            node = node->next;        }   }   printf("\n\n");}void main(){    int hash_table_size ;int key ;hash_node_list* hash_table;    printf("Please input the size of hash table :\n");//scanf("%d",&hash_table_size);cin >> hash_table_size;hash_table = create_hash_table(hash_table_size);printf("Please input some values :\n");//scanf("%d",&key);cin >> key;while(key!=0){hash_table_insert(hash_table,hash_table_size,key);    //scanf("%d",&key);cin >> key ;}print_hash_table(hash_table,hash_table_size);free_hash_node(hash_table,hash_table_size);system("pause");}

运行结果：

                 

5. 采用乘法散列作为哈希函数和线性探测作为碰撞检测实现的散列表：

#include <iostream>using namespace std;#define NIL -1#define HASH_CONSTANT 0.6180339/* * 创建线性探测哈希表*/int* create_probe_hash_table(int hash_table_size){    int* hash_table ;int i ;hash_table = (int*)malloc(hash_table_size*sizeof(int));for(i=0 ; i<hash_table_size ; i++)    hash_table[i] = NIL ;return hash_table ;}void free_hash_probe_table(int* hash_table){   free(hash_table);}int inner_hash_probe_func(int hash_table_size , int key){   return (int)(hash_table_size*((key*HASH_CONSTANT)-(int)(key*HASH_CONSTANT))) ;}int hash_probe_func(int hash_table_size , int key , int index){    return (key + index) % hash_table_size ;}int probe_hash_table_insert(int* hash_table , int hash_table_size , int key){    int pos ;int i ;int ppos ; pos = inner_hash_probe_func(hash_table_size,key);for(i = 0 ; i<hash_table_size ; i++){    ppos = hash_probe_func(hash_table_size , pos , i);if(hash_table[ppos] == NIL){     hash_table[ppos] = key ; return ppos;}}cout << "Hash Table Overflow ..." <<endl ;}int probe_hash_table_search(int* hash_table , int hash_table_size , int key){    int pos ;int i ;int ppos ;pos = inner_hash_probe_func(hash_table_size , key);for(i = 0 ; i<hash_table_size ; i++){     ppos = hash_probe_func(hash_table_size , pos , i);     if(hash_table[ppos] == NIL) {     break ; }        if(hash_table[ppos] == key) {     return ppos; }}cout << "This key not found ..." << endl ;return NIL ;}void probe_hash_table_delete(int* hash_table , int hash_table_size , int key){    int pos ;pos = probe_hash_table_search(hash_table , hash_table_size , key);if(hash_table[pos]!=NIL)    hash_table[pos] = NIL ;}void print_probe_hash_table(int* hash_table , int hash_table_size){    int i ;cout << "Probe Hash Table : \n" << endl ;for(i=0 ; i<hash_table_size ; i++)    cout << "Slot : " << i << "--->" << hash_table[i] << endl ;}void main(){     int* hash_table; int hash_table_size ; int key ; cout << "Please input the size of probe hash table :" << endl ; cin >> hash_table_size ; hash_table = create_probe_hash_table(hash_table_size); cout << "Please input the key and finish by 0 :" << endl ; cin >> key ; while(key != 0 ) {     probe_hash_table_insert(hash_table , hash_table_size , key); cin >> key ; } print_probe_hash_table(hash_table , hash_table_size); free_hash_probe_table(hash_table); system("pause");}

运行结果：

                 

6. 参考链接：http://blog.csdn.net/intrepyd/article/details/4359818

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