排序算法(2)

255 406 134 592 657 745 683

对该序列进行3次扫描后会发现，第3此扫描中最后一次交换的一对纪录是L[4]和L[5]：

50 67 255 134 | 406 483 592 657 683 745 888

显 然，第3次扫描(i=3)结束后L[5]以后的序列都已经排好序了，所以下一次扫描不必到达Last(L)-i=11-4=7，即第2行的for 循环j不必到达7，只要到达4-1=3就可以了。按照这种思路，可以来回地进行扫描，即先从头扫到尾，再从尾扫到头。这样就得到双向冒泡排序算法：

procedure Bi-Directional_Bubble_Sort(var L:List);
var
low,up,t,i:position;
begin
1 low:=First(L);up:=Last(L);
2 while up>low do
begin
3 t:=low;
4 for i:=low to up-1 do
5 if L[i]>L[i+1] then
begin
6 swap(L[i],L[i+1]);
7 t:=i;
end;
8 up:=t;
9 for i:=up downto low+1 do
10 if L[i]< L[i-1] then
begin
11 swap(L[i],L[i-1]);
12 t:=i;
end;
13 low:=t;
end;
end;
算法利用两个变量low和up记录排序的区域L[low..up]，用变量t 记录最近一次交换纪录的位置，4-7行从前向后扫描，9-12行从后向前扫描，每次扫描以后利用t所记录的最后一次交换记录的位置，并不断地缩小需要排序的区间，直到该区间只剩下一个元素。

直观上来看，双向冒泡法先让重的气泡沉到底下，然后让轻的气泡浮上来，然后再让较大气泡沉下去，让较轻气泡浮上来，依次反复，直到排序结束。

双向冒泡排序法的性能分析比较复杂，目前暂缺，那位朋友知道请告诉我。

冒泡排序法和双向冒泡排序法是原地置换排序法，也是稳定排序法，如果算法Bubble_Sort中第3行的比较条件L[j]>L[j+1]改为L[j]>= L[j+1]，则不再是稳定排序法。

选择排序 Selection Sort
选择排序的基本思想是对待排序的记录序列进行n-1遍的处理，第i遍处理是将L[i..n]中最小者与L[i]交换位置。这样，经过i遍处理之后，前i个记录的位置已经是正确的了。

选择排序算法可实现如下。

procedure Selection_Sort(var L:List);
var
i,j,s:position;
begin
1 for i:=First(L) to Last(L)-1 do
begin
2 s:=i;
3 for j:=i+1 to Last(L) do
4 if L[j]< L[s] then
5 s:=j; //记录L[i..n]中最小元素的位置
6 swap(L[i],L[s]); //交换L[i],L[s]
end;
end;
算法Selection_Sort中里面的一个for循环需要进行n-i次比较，所以整个算法需要


次比较。

显而易见，算法Selection_Sort中共调用了n-1次swap过程。选择排序法是一个原地置换排序法，也是稳定排序法。


插入排序 Insertion Sort
插 入排序的基本思想是，经过i-1遍处理后,L[1..i-1]己排好序。第i遍处理仅将L[i]插入L[1..i-1]的适当位置，使得L[1..i]又 是排好序的序列。要达到这个目的，我们可以用顺序比较的方法。首先比较L[i]和L[i-1]，如果L[i-1]≤ L[i]，则L[1..i]已排好序，第i遍处理就结束了；否则交换L[i]与L[i-1]的位置，继续比较L[i-1]和L[i-2]，直到找到某一个 位置j(1≤j≤i-1)，使得L[j] ≤L[j+1]时为止。图1演示了对4个元素进行插入排序的过程，共需要(a),(b),(c)三次插入。


图1 对4个元素进行插入排序

在 下面的插入排序算法中，为了写程序方便我们可以引入一个哨兵元素L[0]，它小于L[1..n]中任一记录。所以，我们设元素的类型 ElementType中有一个常量-∞，它比可能出现的任何记录都小。如果常量-∞不好事先确定，就必须在决定L[i]是否向前移动之前检查当前位置是 否为1，若当前位置已经为1时就应结束第i遍的处理。另一个办法是在第i遍处理开始时，就将L[i]放入L[0]中，这样也可以保证在适当的时候结束第i 遍处理。下面的算法中将对当前位置进行判断。

插入排序算法如下：

procedure Selection_Sort(var L:List);
var
i,j:position;
v:ElementType;
begin
1 for i:=First(L)+1 to Last(L) do
begin
2 v:=L[i];
3 j:=i;
4 while (j<>First(L))and(L[j-1]< v) do //循环找到插入点
begin
5 L[j]:=L[j-1]; //移动元素
6 j:=j-1;
end;
7 L[j]:=v; //插入元素
end;
end;
下 面考虑算法Insertion_Sort的复杂性。对于确定的i，内while循环的次数为O(i)，所以整个循环体内执行了∑O(i)=O(∑i)，其 中i从2到n。即比较次数为O(n2)。如果输入序列是从大到小排列的，那么内while循环次数为i-1次，所以整个循环体执行了∑(i-1)=n(n -1)/2次。由此可知，最坏情况下，Insertion_Sort要比较Ω(n2)次。

如果元素类型是一个很大的纪录，则算法第5行要消耗大量的时间，因此有必要分析移动元素的次数。经过分析可知，平均情况下第5行要执行n(n-1)/4次，分析方法与冒泡排序的分析相同。

如果移动元素要消耗大量的时间，则可以用链表来实现线性表，这样Insertion_Sort可以改写如下(当然前一个算法同样也适用于链表，只不过没下面这个好，但是下面算法这个比较复杂)：

注意：在下面的算法中链表L增加了一个哨兵单元，其中的元素为-∞，即线性表L的第一个元素是L^.next^

procedure Selection_Sort_II(var L:PList);
var
i,j,tmp:Position;
begin
1 if L^.next=nil then exit; //如果链表L为空则直接退出
2 i:=L^.next; //i指向L的第一个元素，注意，L有一个哨兵元素，因此L^.next^才是L的第一个元素
3 while i^.next<>nil do
begin
4 tmp:=i^.next; //tmp指向L[i]的下一个位置
5 j:=L;
6 while (j<>i)and(tmp^.data>=j^.next^.data) do //从前向后找到tmp的位置，tmp应该插在j后面
7 j:=j^.next;
8 if j<>i then //j=i说明不需要改变tmp的位置
begin
9 i^.next:=tmp^.next; //将tmp从i后面摘除
10 tmp^.next:=j^.next; //在j后面插入tmp
11 j^.next:=tmp;
end
12 else i:=i^.next; //否则i指向下一个元素
end;
end;
上述改进算法主要是利用链表删除和插入元素方便的特性，对于数组则不适用。

插入排序法是一个原地置换排序法，也是一个稳定排序法。插入法虽然在最坏情况下复杂性为θ(n2)，但是对于小规模输入来说，插入排序法是一个快速的原地置换排序法。许多复杂的排序法，在规模较小的情况下，都使用插入排序法来进行排序，比如快速排序和桶排序。

下面是一个Java Applet制作的插入排序演示程序。



快速排序 Quick Sort

我们已经知道，在决策树计算模型下，任何一个基于比较来确定两个元素相对位置的排序算法需要Ω(nlogn)计算时间。如果我们能设计一个需要O(n1ogn)时间的排序算法，则在渐近的意义上，这个排序算法就是最优的。许多排序算法都是追求这个目标。

下面介绍快速排序算法，它在平均情况下需要O(nlogn)时间。这个算法是由C.A.R.Hoare发明的。

算法的基本思想

快速排序的基本思想是基于分治策略的。对于输入的子序列L[p..r]，如果规模足够小则直接进行排序，否则分三步处理：

分解(Divide)：将输入的序列L[p..r]划分成两个非空子序列L[p..q]和L[q+1..r]，使L[p..q]中任一元素的值不大于L[q+1..r]中任一元素的值。
递归求解(Conquer)：通过递归调用快速排序算法分别对L[p..q]和L[q+1..r]进行排序。
合并(Merge)：由于对分解出的两个子序列的排序是就地进行的，所以在L[p..q]和L[q+1..r]都排好序后不需要执行任何计算L[p..r]就已排好序。
这个解决流程是符合分治法的基本步骤的。因此，快速排序法是分治法的经典应用实例之一。

算法的实现

算法Quick_Sort的实现：

注意：下面的记号L[p..r]代表线性表L从位置p到位置r的元素的集合，但是L并不一定要用数组来实现，可以是用任何一种实现方法（比如说链表），这里L[p..r]只是一种记号。

procedure Quick_Sort(p,r:position;var L:List);

const

e=12;

var

q:position;

begin

1 if r-p<