整数的所有不同分割数目

      问题描述:把一个正整数写成若干个正整数的和。比如4=3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1，再加上自己，就一共有5种分割方式。

     思路:求解4的所有分割方式，实际上就是求分割中以4为最大值而且和为4的所有分割方式，可以用p[4][4]来表示。抽象出来，就是p[n][m],表示分割中以m为最大值而且和为n的所有分割方式。那么，就有以下几种情况。

     1.第一步当然是n==m，所以第一个分割肯定是n本身了。最大值为n的分割肯定只有一个，所以接下来，就要求p[n][m-1]了。归纳出来：p[n][m]=p[n][m-1]+1;

     2.从第一步m-1后，n肯定是大于m了。所以，p[n][m]的分割中，要么不含m，比如p[4][2],4可以分割成1+1+1+1,这就不含2。这样的话最大值就是1，也就是m-1，所以这种情况归纳出来就是p[n][m-1]；要么 含一个或以上m，比如2+2，这样的话p[n][m]=p[n-m][m],或者p[n-2m][m]......因为剔除掉若干个m，数目是一样的。

     3.通过以上分析，可以很明显的看出这个程序可以用递归写出来。写递归，关键的一点就是递归结束的条件。在这里比较简单，就是p[n][1]=1,p[1][m]=1了。还要注意，n<m没什么意义，所以这里把n<m时的p[n][m]直接定义成p[n][n]；

     归纳一下，递归的详细步骤如下:

     1.n==1 || m==1    p[n][m]=1

     2.n==m                p[n][n]=p[n][m-1]+1

     3.n>m                  p[n][m]=p[n][m-1]+p[n-m][m]

     4.n<m                  p[n][m]=p[n][n]

     代码如下:

#include <stdio.h> 2 #define MAX 1000 3  4 int p[MAX][MAX]={0}; 5  6 //prototype 7 int process(int n,int m); 8  9 int main()10 {11     int n=4; 12     int result=process(n,n);13     result=p[n][n];14     printf("%d\n",result);15     return 0;16 17 }18 19 int process(int n,int m)20 {21     if(n==1 || m==1) //p(n,1)=1,p(1,n)=1.22         return (p[n][m]=1);23     if(n<m)//when n is less than m,let m=n.24         return (p[n][m]=process(n,n));25     if(p[n][m]!=0)26         return p[n][m];27     if(n==m)28         return (p[n][m]=1+process(n,m-1));29     return (p[n][m]=process(n,m-1)+process(n-m,m));30 }

 

       参考资料:《C语言精选名题百则技巧篇》

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