一个关于兑换零钱的豆瓣笔试题

前几天做了个豆瓣笔试题，时间是90分钟，共有6题，要做4道，难度如果没看过类似的着实做起来太慢了。由于豆瓣上面的邮件说不要泄露（还有人会在后期笔试），所以拖到现在才写博客。我先把题目贴出来：将10000块钱兑换成由5000块、2000块、1000块、500块、100块、50块、10块、5块、1块的组成的零钱，问有多少种兑换方式？

这个题，如果朋友们没做过，或许最开始就跟我一样，钱有9种，就做个9重循环，各层累加，当总钱等于10000时就计数器加1，这样是很简单没错，可惜在这数据量的前提下，我用c跑了5、6分钟也没跑出来，于是中止了这种天真的想法。但是还是有必要提下完成这种笨方法时需要用到的基础数据结构，后面我们会对它们进行改进：

一个用于记录各种钱(金额)的数据：y[9]；

一个用于统计各种钱(数量)的数组：x[9]，初始为0；

一个用于标示各种钱(数量上限)的数组：z[9]；

一个用于统计从父循环[i]进入子循环[i+1]时(总金额)的数组：sum[9]，i= 0 to 8；这里我需要重点说明，这个数组是必然需要的，一定得保存上层循环进入下层循环时的初始总金额数，否则当下层循环[i+1]执行完毕返回[i]时就无法知道[i]循环内正确的总金额初值了（除非你把[ 0 ~ i-1 ]层的都算一次加起来）。

接下来，我讲下想到的几个优先考虑的改进：

1、最外层循环应该是最大的数，也就是5000块，内层的依次递减。

这种方式可以使步进更大，而且与后面的第3点配合是非常优秀的省时方法，于是令y[] = {5000,2000,1000,500,100,50,10,5,1}，z[] = {3,6,11,21,101,201,1001,2001,10001}；

2、各层循环应该增加临界条件，当发现总数大于或等于时应该返回上层循环。

如果只是按照z[]中的极限临界条件来做循环，明显会有非常多的无用功，所以应该在各层循环内部，判断总钱数是否已经大于、等于10000，如果大于就break到上层循环，如果等于就先计数器加1，再返回上层循环。

3、最底层循环不执行（1块钱）

前面i = 0 to 7层循环分别把5000、2000、1000、500、100、50、10、5块的都算过了，等到了i=8层，也就是算1块钱的数量时就可以直接跳过了，因为反正会有一个数量能满足累加和正好等于10000，所以前面实际上的x[]、y[]、z[]的大小都只要8就行了。这一点可以把循环次数上限最大的（10000次）的那重循环给省略掉，能大大加快计算时间，这时循环由9重循环减到8重。

经过上面3点改进，心想这下应该快了吧，哪知道也花了两分多钟才出结果，仔细思考，觉得最大的问题还是在第2点，临界条件的判断上，使用2中的方法，会导致各层循环都有判断操作（大于、等于、小于），会影响执行效率，这是需要改善的问题，目前来说，第2点的实现方式有三种：

// 方式1 2 ... 3     for (x[4]=0;x[4]<z[4];++x[4]) 4     { 5         sum[4]=sum[3]+x[4]*y[4]; 6         if (sum[4]<10000) ; 7         else if (sum[4]==10000) { ++count; break; } 8         else break; 9         for (x[5]=0;x[5]<z[5];++x[5])10         {11             ...12         }13     }14 ...15 16 // 方式217 ...18     for (x[4]=0;x[4]<z[4];++x[4])19     {20         sum[4]=sum[3]+x[4]*y[4];21         if (sum[4]>10000) break;22         for (x[5]=0;x[5]<z[5];++x[5])23         {24             ...25         }26     }27 ...28 29 // 方式330 ...31     for (x[4]=0;x[4]<z[4];++x[4])32     {33         sum[4]=sum[3]+x[4]*y[4];34         if (sum[4]==10000) { ++count; break; }        35         else if(sum[6]>10000) break;36         for (x[5]=0;x[5]<z[5];++x[5])37         {38             ...39         }40     }41 ...42 43 // i=7层代码44 ...45     for (x[7]=0;x[7]<z[7];++x[7])46     {47         sum[7]=sum[6]+x[7]*y[7];48         if (sum[7]>10000) break;49         ++count;50     }51 ...

这三种都是属于换汤不换药的，它们在最后一层循环执行的代码是一模一样的，在i=0 to 6层执行的判断稍微有点区别，可以从下图看出执行的效率区别：

它们的结果是一致的，但是虽然方式1代码量最多，但是速度却还是快些的（毕竟sum<10000的可能性最大了），不过在这么大的基数前面，这也是浮云了，都在2分半钟的时候才计算完。为了更好的优化第2点，提出下面的第4点改进：

4、改变循环临界条件，通过当前循环来计算下层循环的结束值

前面由于是用z[]来保存各层循环的执行上限，然后再在循环内判断总值是否超过，影响了执行效率，所以考虑：在[i]层循环时，根据当前累积初值sum[i]和下层循环的零钱面值y[i+1]来计算下层循环[i+1]的结束条件z[i+1]，这样就不需要在循环内部不停地进行判断了，改进方式为：

// 方式4 2 ... 3     for (x[4]=0;x[4]<z[4];++x[4]) 4     { 5          sum[4]=sum[3]+x[4]*y[4]; 6          z[5] = (10000-sum[4])/y[5]+1; 7          for (x[5]=0;x[5]<z[5];++x[5]) 8          { 9               ...10          } 11     }12 ...

一执行，恩，果断快了不少，只花了一分钟多一点便得到了结果：

至此，我能想到的改进就没有了，因为没看过类似的题，花了不少时间，如果有朋友有更好的方法，欢迎指教讨论（ps:豆瓣招的Python程序员，后来试用Python解这个题目的效率真心比c慢十几倍，反正大概十分钟过去了还没算完，我就手动关了，有耐心的朋友可以去试试，告诉我到底要多久）。

补充：

经过园友的贴的代码，我突然发现我在最后一重循环中做的无用功：

...    2     for (x[7]=0;x[7]<z[7];++x[7])3     {4         ++count;5     }6 ...

实在太2了，这++count不就是count+=z[7]么，于是我改成这样：

...2     for (x[6]=0;x[6]<z[6];++x[6])3     { 4        sum[6]=sum[5]+x[6]*y[6];5        z[7] = (10000-sum[6])/y[7]+1;6        count+=z[7];7     }8 ...

运行一下：

这才是人生啊，900ms+，看来一个不小心，一个无谓的循环足足多花了一分半钟！

最后附上改过的C源代码

#include <stdio.h> 2 #include <time.h> 3  4 int main() 5 { 6     clock_t start,end; 7     unsigned long long count = 0; 8     int x[8],sum[8],z[8]; 9     int y[8]={5000,2000,1000,500,100,50,10,5};10     start = clock();11      for (x[0]=0,z[0]=3;x[0]<z[0];++x[0])12      {13          sum[0]=x[0]*y[0];14          z[1] = (10000-sum[0])/y[1]+1;15          for (x[1]=0;x[1]<z[1];++x[1])16          {17              sum[1]=sum[0]+x[1]*y[1];18              z[2] = (10000-sum[1])/y[2]+1;19              for (x[2]=0;x[2]<z[2];++x[2])20              {21                  sum[2]=sum[1]+x[2]*y[2];22                  z[3] = (10000-sum[2])/y[3]+1;23                  for (x[3]=0;x[3]<z[3];++x[3])24                  {25                      sum[3]=sum[2]+x[3]*y[3];26                      z[4] = (10000-sum[3])/y[4]+1;27                      for (x[4]=0;x[4]<z[4];++x[4])28                      {29                          sum[4]=sum[3]+x[4]*y[4];30                          z[5] = (10000-sum[4])/y[5]+1;31                          for (x[5]=0;x[5]<z[5];++x[5])32                          {33                              sum[5]=sum[4]+x[5]*y[5];34                              z[6] = (10000-sum[5])/y[6]+1;35                              for (x[6]=0;x[6]<z[6];++x[6])36                              {37                                  sum[6]=sum[5]+x[6]*y[6];38                                  z[7] = (10000-sum[6])/y[7]+1;39                                  count+=z[7];40                              }41                          }42                      }43                  }44              }45          }46       }47     end = clock();48     printf("Count=%lld,Time=%ldms",count,end-start);49     getchar();50 }

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