排序算法系列之堆排序

   堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

1 堆排序定义

    　n个关键字序列K_l，K₂，…，K_n称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：
    　(1) k_i≤K_2i且k_i≤K_2i+1 或(2)K_i≥K_2i且k_i≥K_2i+1(1≤i≤  )
    　若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。

    下图来自《算法导论》中堆排序一节：放到这里帮助大家更形象的理解堆。

图(a)是一个最大堆，图(b)是最大堆的数组表示。

2 堆节点的访问

通常堆是通过一维数组来实现的。在起始数组为 1 的情形中：

• 父节点i的左子节点在位置
• LEFT(i) return (2*i);
• 父节点i的右子节点在位置 
• RIGHT(i) return (2*i+1);
• 子节点i的父节点在位置 
• PARENT(i) return floor((i/2)）;

3 堆的操作

    我们以最大堆排序来说明排序过程。

   在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点。堆中定义以下几种操作：

• 最大堆调整（MaxHeapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
• 创建最大堆（BuildMaxHeap）：将堆所有数据重新排序
• 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

4 堆排序特点

    　堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。
    　堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。

5 堆排序

  算法动画演示

    大根堆排序实例：对于关键字序列(42，13，24，91，23，16，05，88)，在建堆过程中完全二叉树及其存储结构的变化情况。

动画演示：【动画演示】

 堆排序c/c++实现 

     堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。

    堆操作的实现：

（1）最大堆调整MaxHeapify(A,i);

// 使以i为根的子树成为最大堆void MaxHeapify(int arr[],int len,int i){int l = 2*i,r = 2*i+1;int largest;if(l<=len && arr[l]>arr[i])    largest = l;else    largest = i;if(r<=len && arr[r]>arr[largest])    largest = r;if(largest != i){int temp = arr[i];arr[i] = arr[largest];arr[largest] = temp;MaxHeapify(arr,len,largest);} }

（2）创建最大堆BuildMaxHeap(A)

void BuildMaxHeap(int arr[],int len){for(int i=len/2;i>=1;i--){    MaxHeapify(arr,len,i);}cout<<"build heap is ok!"<<endl;}

（3）堆排序HeapSort(A)

void HeapSort(int arr[],int len){BuildMaxHeap(arr,len);printvalue(arr,len);for(int i=len;i>=2;i--){    int temp = arr[1];            arr[1] = arr[i];    arr[i] = temp;    len--;    MaxHeapify(arr,len,1);}}

6 算法分析

    　堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用最大堆调整MaxHeapify(A,i)实现的。
  　  堆排序的最坏时间复杂度为O(nlgn)。堆排序的平均性能较接近于最坏性能。
    　由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。
    　堆排序是就地排序，辅助空间为O(1)，
    　它是不稳定的排序方法。

7 堆排序与直接插入排序的区别

    　直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。
    　堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。

8 参考文章

  1.堆排序：http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/paixu/paixu8.4.2.3.htm；

  2.堆排序基础讲解：http://www.wutianqi.com/?p=1820；

  3.算法导论学习总结：http://www.wutianqi.com/?p=2343；

  4.堆排序：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A0%86%E6%8E%92%E5%BA%8F；

9 整体代码（包括实验程序C++）

#include <cstdlib>#include <iostream>using namespace std;void printvalue(int arr[],int len){int i;cout<<"the arr value:";for(i=1;i<=len;i++){cout<<arr[i]<<" ";}cout<<endl;}void MaxHeapify(int arr[],int len,int i){int l = 2*i,r = 2*i+1;int largest;if(l<=len && arr[l]>arr[i]){largest = l;}else{largest = i;}if(r<=len && arr[r]>arr[largest]){largest = r;}if(largest != i){int temp = arr[i];arr[i] = arr[largest];arr[largest] = temp;MaxHeapify(arr,len,largest);} }void BuildMaxHeap(int arr[],int len){for(int i=len/2;i>=1;i--){MaxHeapify(arr,len,i);}cout<<"build heap is ok!"<<endl;}void HeapSort(int arr[],int len){BuildMaxHeap(arr,len);printvalue(arr,len);for(int i=len;i>=2;i--){int temp = arr[1];arr[1] = arr[i];arr[i] = temp;len--;MaxHeapify(arr,len,1);}}int main(int argc, char *argv[]){int a[100];int len =88;for(int i=1;i<=len;i++)  //88个数 {a[i] = len - i + 1;}cout<<"init a[]:";printvalue(a,len);cout<<endl;HeapSort(a,len);cout<<"After HeapSort!"<<endl;printvalue(a,len);    system("PAUSE");    return EXIT_SUCCESS;}