在光在真空中传播速度不变假设下推导光波的多普勒效益

光速不变时爱因斯坦的狭义相对论的基础假设之一，甚至可以说是现代物理学的基础理论，迈克尔逊-莫雷实验也证实了这一假设。

但是表面上想想，真空中光速在任何参考系中都相同，不受光源运动的影响，那么观测者为什么会因为光源的移动速度不同而感觉到不同的多普勒效应呢（红移或者蓝移）？

这似乎出现了一个悖论，但其实不然，因为在光速不变的背景下，我们却忽略了随之而来的另外一个现象：

根据狭义相对论，时间在不同参考系下是不同的，也就是众所周知的钟慢效应或者时间膨胀，

为了简化问题，我们只考虑光源以匀速率v向背离观测点的方向移动，t1时间时光源发射了一个光子在t1‘的时间被观测者观测到，当时光源据观测点距离是l1，那么就有：

t1’ - t0 = t1 - t0 + l1/c (1)

同理就有：

t2' - t0 = t2 - t0 + l2/c (2)

并且还有

l2 - l1 = (t2 - t1) * v (3)

(2) - (1) 并将(3)带入，得：

T' = T + T * v / c;

在这里，我们需要意识到一个问题，就是T' 和 T并不是在同一个坐标系下的时间度量，T是以速度v匀速运动的参考系下的时间，根据时间膨胀理论，这个时间实际上比静止坐标系下的时间慢了，T = T0 / (( 1 - (v/c)^2)^(1/2))

T' = T0 * (1 + v/c) / (( 1 - (v/c)^2)^(1/2))

设光在静止参考系下的固有周期是T0，固有频率是f0；

那么T0 = 1 / f0；

而观测点所观测到的频率f’：

f' = f0 * (( 1 - (v/c)^2)^(1/2))/(1 + v/c)

由此可见，光源速度v越大，f'就越小，就会发生红移了