线段树或树状数组求逆序数

线段树或树状数组求逆序数

         求逆序数的方法有分治，归并，本文只介绍线段树或树状数组求逆序数的办法，众所周知，线段树和树状树可以用来解决区间操作问题，就是因为这两个算法区间操作的时间复杂度很低O(logN)，才让这种方法具有可行性。

         首先先来看一个序列   6 1 2 7 3 4 8 5，此序列的逆序数为5+3+1=9。冒泡法可以直接枚举出逆序数，但是时间复杂度太高O(n^2)。冒泡排序的原理是枚举每一个数组，然后找出这个数后面有多少个数是小于这个数的，小于它逆序数+1。仔细想一下，如果我们不用枚举这个数后面的所有数，而是直接得到小于这个数的个数，那么效率将会大大提高。          

         总共有N个数，如何判断第i+1个数到最后一个数之间有多少个数小于第i个数呢？不妨假设有一个区间 [1,N]，只需要判断区间[i+1,N]之间有多少个数小于第i个数。如果我们把总区间初始化为0，然后把第i个数之前出现过的数都在相应的区间把它的值定为1，那么问题就转换成了[i+1,N]值的总和。再仔细想一下，区间[1,i]的值+区间[i+1,N]的值=区间[1,N]的值(i已经标记为1)，所以区间[i+1,N]值的总和等于N-[1,i]的值！因为总共有N个数，不是比它小就是比它(大或等于)。

        现在问题已经转化成了区间问题，枚举每个数，然后查询这个数前面的区间值的总和，i-[1,i]既为逆序数。

        线段树预处理时间复杂度O(NlogN)，N次查询和N次插入的时间复杂度都为O(NlogN)，总的时间复杂度O(3*NlogN)

        树状数组不用预处理，N次查询和N次插入的时间复杂度都为O(NlogN)，总的时间复杂度O(2*NlogN)

线段树:

// 线段树#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#define MAX 51000#define MID(a,b) (a+b)>>1#define R(a) (a<<1|1)#define L(a) a<<1typedef struct {    int num,left,right;}Node;int ans[MAX];Node Tree[MAX<<2];int n;void Build(int t,int l,int r)         //以1为根节点建立线段树{    int mid;    Tree[t].left=l,Tree[t].right=r;    if(Tree[t].left==Tree[t].right)    {        Tree[t].num=0;        return ;    }    mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);    Build(L(t),l,mid);    Build(R(t),mid+1,r);}void Insert(int t,int l,int r,int x)     //向以1为根节点的区间[l,r]插入数字1{    int mid;    if(Tree[t].left==l&&Tree[t].right==r)    {        Tree[t].num+=x;        return ;    }    mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);    if(l>mid)    {        Insert(R(t),l,r,x);    }    else if(r<=mid)    {        Insert(L(t),l,r,x);    }    else    {        Insert(L(t),l,mid,x);        Insert(R(t),mid+1,r,x);    }    Tree[t].num=Tree[L(t)].num+Tree[R(t)].num;}int Query(int t,int l,int r)           //查询以1为根节点，区间[l,r]的和{    int mid;    if(Tree[t].left==l&&Tree[t].right==r)        return Tree[t].num;    mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);    if(l>mid)    {        return Query(R(t),l,r);    }    else if(r<=mid)    {        return Query(L(t),l,r);    }    else    {        return Query(L(t),l,mid)+Query(R(t),mid+1,r);    }}int main(){    int a,n,i,t;    scanf("%d",&t);    long long int k;    while(t--)    {        scanf("%d",&n);        memset(Tree,0,sizeof(Tree));  //初始化线段树        Build(1,1,n);        for(i=1;i<=n;i++)             //输入n个数        {            scanf("%d",&ans[i]);        }        for(i=1,k=0;i<=n;i++)        {            a=ans[i];            Insert(1,a,a,1);          //把线段树[ans[i],ans[i]]区间的值插入为1            k=k+(i-Query(1,1,a));     //查询区间[1,ans[i]]值的总和,逆序数等于i-[1,ans[i]]        }        printf("%lld\n",k);    }    return 0;}

树状数组:

// 树状数组#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <algorithm>using namespace std;#define MAX 100010int c[MAX],a[MAX],ans[MAX],n;int Lowbit(int x)      //返回二进制最后一个1所表示的数{return x&(-x);}void Updata(int x)     //向前更新{while(x<=n){c[x]++;x+=Lowbit(x);}}int Sum(int x)         //向后更新求和{int sum=0;while(x>0){sum+=c[x];x-=Lowbit(x);}return sum;}int main(){int i,t,k;    scanf("%d",&t);while(t--){        scanf("%d",&n);        for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&ans[i]);}memset(c,0,sizeof(c));        //初始化树状数组for(i=1,k=0;i<=n;i++){Updata(ans[i]);         //向后更新节点ans[i].kk=k+(i-Sum(ans[i]));    //向前查询节点ans[i].k}printf("%d\n",k);}return 0;}