判断图中是否包含欧拉路径或者欧拉环

欧拉路径的定义：对于无向图来说，欧拉路径就是通过每条边有且只有一次，如果遍历的起始点和终止点都是一个顶点的话，那么就说这个图存在欧拉环。

上图中有三个例子，分别是欧拉路径和欧拉环，以及非欧拉路径。那么怎么来判断一个图中是否含有欧拉路径或者欧拉环呢。首先回想一下图的定义，图中有v个顶点，那么着v个顶点中有0个或者两个或者两个以上的顶点度数为奇数。接下来，求欧拉路径就相当于用笔画一个图，笔可以经过每一个顶点，画出某一条边有且只有一次，而不用离开纸张的表面。

如果一个图中含有一条欧拉路径，那么它就被称为半欧拉的。先看看第一幅图，含有欧拉路径图的特点，除了顶点0和顶点4之外，其他的顶点的度数都是偶数，这这个图中是2.

看第二幅图，所有的顶点的度数都是偶数，之后第三幅图，有4个顶点的度数是奇数。那么就能得到非欧拉路径和欧拉路径的区别就是非欧拉路径有超过2个以上的顶点度数为奇数。

给定欧拉环的算法：

1，对于所有度数不为0的顶点和他们之间的边组成的图进行检验，看看是否他们组成的图是连通的，如果所有顶点的度数都为0，那么我们可以说这个图是含有欧拉路径的。

2，判断所有的顶点的度数是否为偶数。

欧拉路径算法：

1，对于所有度数不为0的顶点和他们之间的边组成的图进行检验，判断他们组成的图是否是连通的。

2，对于所有第一步检验的顶点，判断他们之中有奇数度数的个数，如果超过2个以上度数为奇数，那么此图不含欧拉路径。

下面是代码：

#include<iostream>#include<list>using namespace std;class Graph {int vexNum;list<int>* adjacents;public:Graph(int _vexNum);~Graph();void addEdge(int v, int w);void DFSUtil(int v, bool* visited);bool isConnected();int isEulerian();};Graph::Graph(int _vexNum) {vexNum = _vexNum;adjacents = new list<int>[vexNum];}Graph::~Graph() {delete []adjacents;}void Graph::addEdge(int v, int w) {adjacents[v].push_back(w);adjacents[w].push_back(v);}void Graph::DFSUtil(int v, bool *visited) {visited[v] = true;list<int>::iterator iter;for (iter = adjacents[v].begin(); iter != adjacents[v].end(); iter++)if (false == visited[*iter])DFSUtil(*iter, visited);}bool Graph::isConnected() {int v;bool* visited = new bool[vexNum];for (v = 0; v < vexNum; v++)visited[v] = false;for (v = 0; v < vexNum; v++)if (0 != adjacents[v].size())break;if (v >= vexNum)return true;DFSUtil(v, visited);for (v = 0; v < vexNum; v++)if (false == visited[v] && adjacents[v].size() > 0)return false;return true;} int Graph::isEulerian() {// 0 represents non eulerian, 1 represents eulerian path, 2 represents eulerian cyclebool rst = isConnected();if (!rst)return 0;int v;int odd = 0;for (v = 0; v < vexNum; v++)if (adjacents[v].size() & 0x01)odd++;if (odd > 2)return 0;return odd ? 1 : 2;}void test(Graph& g) {int rst = g.isEulerian();if (0 == rst)cout << "there is no eulerian path or cycle" << endl;else if (1 == rst)cout << "there is a eulerian path" << endl;elsecout << "there is a eulerian cycle" << endl;}int main(int argc, char* argv[]) {Graph g1(5);    g1.addEdge(1, 0);    g1.addEdge(0, 2);    g1.addEdge(2, 1);    g1.addEdge(0, 3);    g1.addEdge(3, 4);    test(g1);     Graph g2(5);    g2.addEdge(1, 0);    g2.addEdge(0, 2);    g2.addEdge(2, 1);    g2.addEdge(0, 3);    g2.addEdge(3, 4);    g2.addEdge(4, 0);    test(g2);     Graph g3(5);    g3.addEdge(1, 0);    g3.addEdge(0, 2);    g3.addEdge(2, 1);    g3.addEdge(0, 3);    g3.addEdge(3, 4);    g3.addEdge(1, 3);    test(g3);     // Let us create a graph with 3 vertices    // connected in the form of cycle    Graph g4(3);    g4.addEdge(0, 1);    g4.addEdge(1, 2);    g4.addEdge(2, 0);    test(g4);     // Let us create a graph with all veritces    // with zero degree    Graph g5(3);    test(g5);cin.get();return 0;}