斯坦纳树 Steiner Tree

      不久前学习了斯坦纳树，今天决定记录下。以便日后忘了，好回忆起来。

1. 什么是斯坦纳树？

       斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。将指定点集合中的所有点连通，且边权总和最小的生成树称为最小斯坦纳树（Minimal Steiner Tree），其实最小生成树是最小斯坦纳树的一种特殊情况。而斯坦纳树可以理解为使得指定集合中的点连通的树，但不一定最小。

2. 如何求解最小斯坦纳树？

      可以用DP求解，dp[i][state]表示以i为根，指定集合中的点的连通状态为state的生成树的最小总权值。

      转移方程有两重：

      第一重，先通过连通状态的子集进行转移。

      dp[i][state]=min{ dp[i][subset1]+dp[i][subset2] } 

      枚举子集的技巧可以用 for(sub=(state-1)&state;sub;sub=(sub-1)&state)。

      第二重，在当前枚举的连通状态下，对该连通状态进行松弛操作。

      dp[i][state]=min{ dp[i][state], dp[j][state]+e[i][j] }

      为什么只需对该连通状态进行松弛？因为更后面的连通状态会由先前的连通状态通过第一重转移得到，所以无需对别的连通状态松弛。松弛操作用SPFA即可。

      复杂度 O(n*3^k+cE*2^k)

      c为SPFA复杂度中的常数，E为边的数量，但几乎达不到全部边的数量，甚至非常小。3^k来自于子集的转移sum{C(i,n)*2^i} (1<=i<=n)，用二项式展开求一下和。

模版：

/* *  Steiner Tree：求，使得指定K个点连通的生成树的最小总权值 *  st[i] 表示顶点i的标记值，如果i是指定集合内第m(0<=m<K)个点，则st[i]=1<<m  *  endSt=1<<K *  dptree[i][state] 表示以i为根，连通状态为state的生成树值 */#define CLR(x,a) memset(x,a,sizeof(x))int dptree[N][1<<K],st[N],endSt;bool vis[N][1<<K];queue<int> que;int input(){   /**    输入，并且返回指定集合元素个数K*    因为有时候元素个数需要通过输入数据处理出来，所以单独开个输入函数。    */}void initSteinerTree(){CLR(dptree,-1);CLR(st,0);for(int i=1;i<=n;i++) CLR(vis[i],0);endSt=1<<input();for(int i=1;i<=n;i++)dptree[i][st[i]]=0;}void update(int &a,int x){a=(a>x || a==-1)? x : a;}void SPFA(int state){while(!que.empty()){int u=que.front();que.pop();vis[u][state]=false;for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){int v=e[i].vid;if(dptree[v][st[v]|state]==-1 || dptree[v][st[v]|state]>dptree[u][state]+e[i].w){    dptree[v][st[v]|state]=dptree[u][state]+e[i].w;if(st[v]|state!=state || vis[v][state]) continue; //只更新当前连通状态vis[v][state]=true;que.push(v);}}}}void steinerTree(){for(int j=1;j<endSt;j++){for(int i=1;i<=n;i++){if(st[i] && (st[i]&j)==0) continue;for(int sub=(j-1)&j;sub;sub=(sub-1)&j){int x=st[i]|sub,y=st[i]|(j-sub);if(dptree[i][x]!=-1 && dptree[i][y]!=-1)update(dptree[i][j],dptree[i][x]+dptree[i][y]);}if(dptree[i][j]!=-1) que.push(i),vis[i][j]=true;}SPFA(j);}}

也有用Floyd求的，但是个人认为还是SPFA效率稳定。Floyd的话，数据达到三五百就可能T了。