LeetCode_Sqrt

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

class Solution {public:    int sqrt(int x) {        // Start typing your C/C++ solution below        // DO NOT write int main() function        if (x == 0)            return 0;        int i = 0;        int j = x;        while (i + 1 < j)        {            int mid = i + ((j - i) >> 1);                if (mid > (x / mid))    {    j = mid;    continue;    }    int tmp = mid * mid;            if (tmp == x)                return mid;            else if (tmp < x)                i = mid;            else                j = mid;        }    if (x / j == j)    return j;        return i;    }};

 为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。 

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

int sqrt(int x) {     if (x == 0) return 0;     double last = 0;     double res = 1;     while (res != last)     {         last = res;         res = (res + x / res) / 2;     }     return int(res); }

double sqrt(double x) {     if (x == 0) return 0;     double last = 0.0;     double res = 1.0;     while (res != last)     {         last = res;         res = (res + x / res) / 2;     }     return res; }