从拉马努金到张益唐——数学是一个整体

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欧阳顺湘

（此文未完）

其实我们主要是想聊聊被不少人视为神明的拉马努金。

喜好登楼写诗的李白一次登上黄鹤楼，望着不尽长江和无边落木，诗兴大发，想写文章，但一抬头看到崔颢的诗句，只好怅然地说“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头”。有善科网著名id@水立方 关于张益唐先生的文章，我们这里自是不敢再写张老的故事了。但因为张老现在太火了，不用他来抓抓眼球还是抓谁呢？说是标题党也就认了。

拉马努金怎么牵扯上张老了呢？今年的数学热点，除了张老，其实，早在几个月，即2013年3月，比利时数学家皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne，1944年-）荣获2013年度的阿贝尔数学奖。德利涅现就职于美国新泽西州普林斯顿的高等研究院。他曾获得1978年的费尔兹奖，其主要工作即是利用代数几何工具证明了Weil猜想，顺带证明了拉马努金的“τ（tau）猜想”。而张老的证明中就用到了德利涅的这项工作。（张老的工作刚出来时，还有人写文章评论，说张老的文中没用到现代的工具而有些折扣。看看这吧！）

还有什么联系呢？不要忘了，数学界一定程度上就如武侠中的武林世界，这就是为什么有人读数学史，读张老的故事，就如读武侠小说一样。数学家也讲究学缘，说得难听点，免不了裙带关系。有人的地方就有江湖，有江湖的地方就有关系，数学家也是人，所以数学家就避免不了这些关系。这也是为什么国外有个数学网站专门辑录数学家的师徒关系，也有数学书籍研究这些。关系用得好就事半功倍；用得不好，就如莫大先生，推荐信也没写。

张老的除了一位可能跳进黄河也洗不清了的莫大先生外，还有一位令他感谢硕士导师潘承彪，而潘承彪的导师闽嗣鹤曾师从英国大数学家哈代，此外，和潘氏兄弟很有关系的华罗庚也曾在哈代手下求学。而哈代对拉马努金登上数学舞台也是关键的。当然，再扯远点，我们可以将题目改成：从牛顿到拉马努金到张益唐。

言归正传，我们的故事就从哈代讲起。

1. 一个陌生人的来信——1+2+3+4+⋯=−112?

话说唐朝大才子白居易16岁进京——当时的长安，现在的西安，带着诗文去谒见当时的大名士顾况。白居易虽然少年成名，但对顾况而言，还是一无名之辈，一开始就拿白居易的名字开起玩笑来：“长安米贵，居大不易”。但当他打开诗文，读到“野火烧不尽，春风吹又生”，大惊，赶忙改口赞曰：“有才如此，居亦何难！”

用自己的作品求教大家以博得认可是很常见。文学史上不乏这样的故事，数学史上也很多这样的例子。不过，千里马遇着伯乐确实千载难逢。数学史上一个著名的事件就是大数学家柯西就将天才的伽罗华的论文丢弃。这也难怪柯西，人生如此短促，而找他们的人是如此多，而且可以想象，很多来件确是很不值得仔细对待的。

19世纪的英国大数学家哈代也是不胜其烦地常常收到很多这样的信件。1913年一月的某一天，一大早，在喝咖啡的间隙，秘书如往常一样抱来一大堆稿件。哈代随手翻阅了几下，发现其中竟然还有从印度来的信件。打开来翻了翻，也是陌生人求教的信件，而且还付录了一大堆手写的数学公式。信中有很多类似没有证明的结论，例如

e−2π/51+e−2π1+e−4π1+e−6π1+⋯=5+5√2−−−−−−√−5√+12.

哈代笑了笑，就忙着去办公室了。

 2010年英国上演剧本A disappearing number，讲述哈代与拉马努金的故事. Robbie Jack摄影.

但哈代这一天不知何故，还不是想起那封印度来信。晚上的时候，他回去又翻阅了下这封陌生人的来信，当看到下面这个公式时，

1+2+3+4+⋯=−112,

不禁大惊。他赶忙叫来自己多年的合作者和最亲密的朋友，同时大数学家的里特伍尔德，一起来解读这封信件。经过仔细阅读，他们得出结论：这封陌生人的来信出自一位数学天才。哈代2月即回信给拉马努金，说他的结果完全把他打败了。

一般来说，1+2+3+4+⋯之和为无穷大，按数学上的说法，这个级数是发散的，可以写成

1+2+3+4+⋯=+∞.

但哈代知道，1+2+3+4+⋯也是黎曼ζ函数

ζ(s)=1+12s+13s+14s+⋯.

在−1处的值。这个ζ函数最早是欧拉定义的，只是欧拉要求s>1。而黎曼的伟大之处在于不但将这个函数的定义域延拓到s=1之外的整个复平面，而且还将它与素数分布联系起来。黎曼还猜测，这个函数的非平凡零点在实部为1/2的直线上——这就是著名的黎曼猜想。

哈代知道如下简单的公式

ζ(s)=2sπs−1sin(πs2)Γ(1−s)ζ(1−s).

这里的Γ函数是如下函数的推广：

Γ(n)=(n−1)×(n−2)⋯×2×1

因此，

ζ(−1)=2−1πs−1sin(−π2)Γ(2)ζ(2)=−12π2ζ(2).

而ζ(2)就是欧拉曾直观地求出来的著名的Basel问题：

ζ(2)=∑k=1∞1k2=1+14+19+116+⋯=π26..

 俄罗斯2007年发行纪念欧拉三百周年纪念银币

至此，不难得到

ζ(−1)=−12π2×π26=−112.

人们常说，历史是任人打扮的小姑娘。那么，数学则是身着各种衣服出现的百变女王。我们无法完整地一睹ζ函数的芳姿，能看到她外衣的一角：1+2+3+4+⋯也很好。只有敏锐如哈代，才能从这一角辨认出来；也只有他才能从中看到拉马努金这头还未咆哮的数学幼狮的爪子。

2. 天书引导的天才

拉马努金出生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德一个贫穷的家庭。他的数学天赋在中小学时即显示了。因为出色的数学能力，一些大学生借书给他读。13岁时他已经掌握了一本高年级学生用的三角学教材《平面三角学》（\emph{Plane Trigonometry}，S.L. Loney著，1893出版）。这本书有500多页，内容除了一般高中教材里三角函数方面的知识，还涉及不少较高等内容，如涉及三角函数的无穷级数求和以及复数。学校老师已经不能总是回答拉马努金的问题，于是拉马努金开始做一些自己的数学探索。例如，1902年，他学会了解三次方程后，就尝试用自己的方法求解四次方程以及五次方程（他不知道五次方程没有根式解，自然未能成功）的根式解。

大约在1903年，在拉马努金上大学前，偶然碰到一本书，《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》（\emph{A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics}）。这是英国数学家卡尔（G. S. Carr）编著的，1880年出版。书中总结了4000多个结果（根据书中的标号，有6000多结果，但实际标号有跳跃），覆盖数学的各个分支。有的结果甚至直接指向伦敦数学会杂志中的研究论文。读者可以通过互联网免获得该书第一卷第一部分的电子版（如“互联网档案馆”\url{http://archive.org}）。书中一开始有各种常用数表，如对数表，根式表，因子分解表，圆周率π的各次幂以及幂的倒数等，其后就是有代数、几何等许多方面结论的罗列。

卡尔书中的结果几乎没有证明。这样一本过度简洁的书，显然不适合做教材。若要由此来学习，需要自己将许多结果证明出来，囫囵吞枣地学习肯定是不行的。但拉马努金这样的天才遇上这样一本天书，就如武侠小说中常见镜头：天赋异禀的习武奇才遇着了武学天书。拉马努金所掌握高等数学知识来源有许多不明处，这本书是目前唯一确定的源泉。

拉马努金后来发表的不少论文以及自己的笔记中可以看到此书的影响。例如，拉马努金很喜欢根式，而卡尔的书中有不少这方面的结果。下面的嵌套根式求值是拉马努金曾在印度数学会的期刊提出的问题：

3=1+21+31+41+⋯−−−−−√−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.

后来他也提供了解答。这个结果也作为一个一般结论下两个例子中的第一个而被拉马努金记录在他的笔记本中（笔记本第十二章中第四条一个，139页，参\url{http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/notebookindex.htm}）。

拉马努金笔记本中的根式嵌套公式

但这本书也给拉马努金以不好的影响。在剑桥，有哈代的帮助，拉马努金对他的结果会给出证明；此前此后，拉马努金几乎从不写下他的数学定理的证明。他的这种风格一般认为前述卡尔的书的影响外，一般猜测，其原因是拉马努金没有那么多余的钱购买纸张，因而常在石板上作计算再誊写最后结果到笔记本上。而且拉马努金的笔记本是私人的，他觉得没有必要写证明给自己看。

因为在数学方面的特殊能力，1904年拉马努金获得奖学金，进入大学学习。拉马努金也开始更深入地研究数学。但随后的一年，因为过度沉迷于数学，忽视了其它学科而失去了奖学金。他此后转学，申请Madras大学也因为生病、偏科等原因而受到挫折。

拉马努金在印度数学会的期刊上发表了一篇有关贝努利数的文章而开始受到数学界的赏识。但拉马努金没有大学学位，找工作并不顺利。期间印度数学会的一位创始人，数学家Ramachandra Rao曾经给他一些资助。在他的帮助下，1912年，拉马努金得以在马德拉斯港务信托处做一名职员。

几经周折，拉马努金在哈代的邀请下于1914年得到资助进入剑桥大学，和哈代进行共同研究。在5年里，他们共同发表了28篇重要论文。

作为一个例子，我们简介下哈代与拉马努金关于整数分拆的研究。设p(n)为将n写为整数之和的方法数。例如，3=3，3=1+2，3=1+1+1，因此p(3)=3。 哈代与拉马努金得到如下近似公式：

p(n)∼14n3√exp(π2n3−−−√).

拉马努金甚至还得到精确结果如p(5k+4)（k为正整数）可以被5整除。例如，p(4)=5，p(9)=30，p(13)=135都可被5整除。

哈代将发现拉马努金称为他对数学最大的贡献。哈代将他与拉马努金之间的合作关系称为：“我人生中的一个浪漫的意外（the one romantic incident in my life）”。

虽然数学上成果丰硕，但拉马努金在生活上并不能很好地照顾自己。阿诺德在他的书\emph{Yesterday and long ago}中记述了一个不广为人知的故事：一来自美国的印度物理学家到剑桥访问，去看望三一学院的拉玛努金，觉得拉马努金的房间太冷。拉马努金说只是晚上有些冷。物理学家要看看拉马努金是如何睡的，才发现拉马努金沿用家乡的习惯，竟然不懂得将毛毯盖在身上！阿诺德还婉转批评，哈代或许因其snobbery或inhuman behavior，而没有过多地关心自己体弱的学生，给一些适当的建议。

拉马努金在英国的生活使得他的身体越来越虚弱。直到1919年，一战结束，海路通行，才终于回到家乡。原来拉马努金期望家乡温暖的环境有利于自己恢复健康，却未能如愿。1920年，拉马努金病逝，终年不满33岁。

同样在哈代门下学习过的华罗庚也是一位出身贫寒，自学成才的数学奇才。但华罗庚明显比拉马努金有更强的适应能力，所做的数学与拉马努金那样天马行空，不带证明的数学有明显的差别。

3. 一个猜想连着拉马努金和张益唐

让我们稍微简介下τ猜想。考虑如下无穷乘积

qΠ∞n=1(1−qn)24:=q(1−q)24(1−q2)24(1−q3)24(1−q4)24(1−q5)24⋯.

我们将其表示为q幂级数，

qΠ∞n=1(1−qn)24=∑n=1∞τ(n)qn.

其中qn的系数τ(n)被称为拉马努金τ函数。例如，τ函数在1,2,…,10处的值分别为1,-24,252,-1472,4830,-6048,-16744,84480,-113 643, -115 920。从这里可以看到τ(n)的绝对值增长很快。拉马努金证明了

|τ(n)|<n6.

也就是增长的阶是多项式的。1916年，拉马努金猜测有更强的估计

|τ(n)|<d(n)n11/2,

其中d(n)为n的因子数。哈代将这个猜想成为拉马努金τ猜想。特别，若n为素数p，则拉马努金的τ猜想为

|τ(p)|<p11/2.

1974年，德利涅通过证明韦伊猜想而获得该猜想的证明。韦伊猜想相当于有限域上代数族的黎曼猜想。

这个τ函数为什么有趣呢？取q=e2πiz，其中z为虚部为正的复数，则|q|<1。因此

Δ(z)=qΠ∞n=1(1−qn)24

是定义在上半平面上的全纯函数。这个函数与将一个整数表示为24个平方数之和的个数紧密相关。在拉马努金之前已有人研究过，而且有很好的性质，如

Δ(z)=Δ(z+1),Δ(−1/z)=z1/2Δ(z).

这些性质使得Δ成为一个很特别的函数。事实上，它是模形式的一个例子。模形式在怀尔斯证明费马大定理时发挥了很大的作用。

4. 拉马努金的遗产

英年早逝的拉马努金留给了后世一座丰富的宝藏。在拉马努金去剑桥之前，他在三本活页纸笔记上记录了很多令人难以置信的结果，涉及幻方、连分数、级数、素数、椭圆积分等方面的结果。从剑桥回到印度后，他继续研究，也写下了一本笔记（被称为遗失的笔记）。这些笔记中的结果大都没有证明。但经过许多数学家的研究，几乎所有拉马努金的结果被发现都是正确的。拉马努金的笔记不但所给结果美妙，而且字迹工整，且很细心使用了各色墨水。美国数学家贝恩特（B. C. Berndt）等人主编了5大卷《拉马努金笔记》（\emph{Ramanujan's Notebooks}），包含了许多数学家对拉马努金遗留问题的研究。1997年，他还主力创办了《拉马努金期刊》，发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。

5. 纪念拉马努金

拉马努金诞辰125周年纪念（2012年12月22日，印度）

2012年12月22日，是印度著名充满传奇色彩的天才数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887年12月22日－1920年4月26日）诞辰125周年的纪念日。谷歌印度以象征少年拉马努金在地面学习、书写数学结果的涂鸦来纪念他。涂鸦的内容有平面几何中的相似比、方程求解、圆周率（涂鸦中写出21位）以及幻方等内容。“Google”这六个用三角形、圆、半圆与正方形等几何图形来形成。

拉马努金在印度有很高的地位，他的生日也历来很受重视。印度著名统计学家劳（C. Radhakrishna Rao）的名著《统计与真理：怎样运用偶然性》即产生自他为拉马努金诞辰100周年纪念期间所做的演讲。劳还特别提到拉马努金激励了他们那一代人学习数学的热情。确实，劳在此书前言中对母亲的感谢很感人，因为从中也可以看出印度穷苦人的生活状况，我们就列在这里（这句话在两年前在微博分享的时候，很多人都有所触动）：

2011年12月26日， 为纪念拉马努金，培育印度数学的光荣传统，在拉马努金家乡的Alagappa大学拉马努金数学中心的开幕仪式上，印度总理辛格宣布2012年为印度数学年，且从2012年开始，每年的12月22日全国数学日。

6. 谷歌纪念涂鸦中的数学

让我们通过与涂鸦中的幻方和圆周率来了解下拉马努金的数学才能。

涂鸦中的三阶幻方就出现在拉马努金的笔记本中。幻方（又称魔方或纵横图），是一组排放在正方形中的整数，使得每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。

6 1 8

7 5 3

2 9 4

涂鸦中的三阶幻方（数字1到9排成三行三列，使得行和、列和以及对角线之和均为15）

拉马努金笔记本中的一页（来自\url{http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/notebookindex.htm}），其中一个幻方被用于涂鸦中。

这个幻方是拉马努金关于幻方一般结果中的一个例子。有人根据拉马努金构造幻方的方法，得到了一个四阶幻方，将拉马努金的生日数字当做第一行。

拉马努金生日四阶幻方（数字行、列、对角线、四角等之和均为139，另外，还有12+18+86+23=88+10+25+16=17+9+24+89=139等）:

22 12 18 87

88 17 9 25

10 24 89 16

19 86 23 11

我们已经无须强调，圆周率π的计算在人类文明、数学历史中的意义。拉马努金在这方面有不少贡献，发现了不少相关的公式。

下面与π有关的常数被称为拉马努金常数：

eπ163√=262,537,412,640,768,743.99999999999925….

它的特点是与整数特别地接近，而且联系了数学中常用的常数e和π。

拉马努金很多看似神奇的结果背后，看起来似乎是天启，但实际上背后都有高深的数学：

这是代数数论的一个分支。有以下一则广为流传的故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他的朋友，印度 天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车号是1729。他向 Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法 写为2个立方之和的最小的数，如 1729=13+123=93+103 这结果可用椭圆曲线论来证明。

他还得到过如下公式：

1π=22√9801∑n=0∞(4n)!(1103+26390n)(n!)43964n.

这个公式的特点是它收敛相当快速。例如，只取一项（n=0），就可以得到圆周率前8位十进制精度：

π≈98012⋅1103⋅2√=3.14159273001….

1985年Bill Gosper将这个公式改写成连分数的形式，得到了圆周率的一千七百万位。其特点是不需连续计算圆周率。David与Gregory Chudnovsky兄弟改进了拉马努金的公式，不但计算可以间断，还可以有不同计算机计算在将结果组合。他们的算法创造过几次圆周率计算的世界纪录，如2.7万亿（2009年）、5万亿（2010年）、10万亿（2011年）位。

就当结束语？：

拉马努金犹如贫瘠土地上绽放出的无比炫目的鲜花。一方面是他的天才，哈代曾经评价：如果将天赋用0到100来衡量，哈代自己评价将得25分，利特尔伍德（Littlewood）30分，希尔伯特80分，而拉马努金则为100分。另一方面的对比是他所生活环境的极度贫穷和所受教育的不正规。要全面认识拉马努金不是本文能做到的，但我们可以通过一些侧面来了解。读者可以参考齐民友等翻译的《知无涯者：拉马努金传》（\emph{The Man Who Knew Infinity——A Life of Genius Ramanujan}，Rovert Kanigel，1991）来更多地了解拉马努金。基于这本书的一部反映哈代与拉马努金友谊的电影也正在筹拍中。