堆与堆排序

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个大根堆：

接下来是一个小根堆：

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解

这样有什么好处呢？好处就是能方便地把指针省略掉，用一个简单的数组来表示一棵树，如图：

下面接着介绍一个维护方法：

假设要在这个二叉堆里入队一个单元，键值为2，那只需在数组末尾加入这个元素，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动，经过了这种复杂度为Ο(logn)的操作，二叉堆还是二叉堆。

那如何出队呢？也不难，看图：

堆排序：

一个动态的堆排序过程

最差时间复杂度最优时间复杂度^[1]平均时间复杂度最差空间复杂度 total,  auxiliary

下面是一个堆排序的代码：

#include <iostream>#include <stdlib.h>int data[2000],n,len;FILE *fin,*fout; void change(int &a,int &b){   //快速交换2个数   a^=b;b^=a;a^=b;}   void sift(int a){//维护堆过程 int l=a*2;if (l>len) return ; if (l+1<len && data[l+1]>data[l]) l++;//选取左右子节点中最大的一个 if (data[l]>data[a]) {//比较子节点与父节点 change(data[a],data[l]);sift(l);//维护子节点堆 }}void heap_sort(){//堆排序主过程 int i;len=n;for (i=n/2;i>0;i--)  sift(i);//维护以i为父节点的堆，将数据中最大的交换到data[1]，即堆顶 for (i=1;i<=n;i++){change(data[1],data[len]);//交换堆顶和堆底元素 len--;//减少堆元素 sift(1); //整理堆 }}void input(){//读入元素 int i;fscanf(fin,"%d",&n);//表示读入的数为n for (i=1;i<=n;i++) fscanf(fin,"%d",&data[i]);//将n个数读入到data数组中，注意这里数组从1开始 fclose(fin);}void output(){//输出排序后结果 int i;for (i=1;i<=n;i++)  fprintf(fout,"%d ",data[i]); fclose(fout);}int main(){fin=fopen("heapin.txt","r");fout=fopen("heapout.txt","w");input();heap_sort();output();return 0;}