HDU 1384 Intervals（差分约束）

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题意：

给出 n 个区间，每个区间有个权值 Ci，最终找出一个最少的数字的集合，使得满足每个区间中至少包含 Ci 个数。

解题思路：

算法介绍

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是关于一组变量的特殊不等式组。求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径问题。

观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。我们再增加一个源点s,s与所有点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行bellman-ford算法，最终{d[i]}即为一组可行解。(差分约束系统的解的一个特点是，当将所有变量同时增加相同的大小，约束条件依然成立）

看了 KIDx 大牛的博客，大概懂了。

将 [0,n] 中的所有数字抽象成点，且 d[i] 表示区间 [0,i] 中包含的集合中数字的个数。

发现对于问题"区间 [a,b] 中包含的集合中数字的个数"，满足区间减法的性质，即 d[b] - d[a-1]。

从而对应住题目中的约束条件，即 d[b] - d[a-1] >= Ci，可以建边 a-1 -> b ，权值为 Ci，再求最长路。

另外，对于此类题目，还需要挖掘出题目的隐含条件，对于此题，即 d[i] - d[i-1] >= 0 ，d[i] - d[i-1] <= 1。符号不一致的，转成负边再建边。

最后，还需要增加一个源点 s ，与所有点相连，边权为0，由于上面的隐含条件，此题就不需要连了。

不过还不清楚为什么要增加源点。增加源点，是为了防止图不连通。

小细节：由于 a-1 可能等于 -1，所以要把所有点映射成 +1 的点。

#include <queue>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>using namespace std;template<int N,int M>struct Graph{    int top;    struct Vertex{        int head;    }V[N];    struct Edge{        int v,next;        int w;    }E[M];    void init(){        memset(V,-1,sizeof(V));        top = 0;    }    void add_edge(int u,int v,int w){        E[top].v = v;        E[top].w = w;        E[top].next = V[u].head;        V[u].head = top++;    }};Graph<50005,150005> g;const int N = 5e4 + 5;int d[N],inqCnt[N];bool inq[N];bool spfa(int s,int n){    memset(inqCnt,0,sizeof(inqCnt));    memset(inq,false,sizeof(inq));    memset(d,-63,sizeof(d));    queue<int> Q;    Q.push(s);    inq[s] = true;    d[s] = 0;    while(!Q.empty())    {        int u = Q.front();        for(int i=g.V[u].head;~i;i=g.E[i].next)        {            int v = g.E[i].v;            int w = g.E[i].w;            if(d[u] + w > d[v])            {                d[v] = d[u] + w;                if(!inq[v])                {                    Q.push(v);                    inq[v] = true;                    if(++inqCnt[v] > n)                        return true;                }            }        }        Q.pop();        inq[u] = false;    }    return false;}int main(){    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        g.init();        int L = 50005 , R = 0;        for(int i=0;i<n;i++)        {            int a,b,c;            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);            ++a , ++b;            L = min(L,a);            R = max(R,b);            g.add_edge(a-1,b,c);        }        for(int i=L;i<=R;i++)        {            g.add_edge(i-1,i,0);            g.add_edge(i,i-1,-1);        }        spfa(L-1,R-L+2);        printf("%d\n",d[R]);    }    return 0;}