ccsu 1079求解素数 筛选法

筛选法求素数

当数据量比较大时候，判素数的方法是会超时的，我们将前面的那道例题改造一下，变成下面这个题目：

桐桐的思考

桐桐在学完了上节课的知识后，对信息学越发感兴趣了。桐桐是一个很善于思考的学生，她发现上节课中例题的n最大是40000，如果数据再大一些，比如n=10⁶，那么判素数的算法能否在1秒内给出答案呢？桐桐用程序实际测试的时间超过了1秒，你能帮助可爱的桐桐解决这个难题吗？即：在1秒的时间内输出不大于n（1＜N≤10⁶）的所有素数。

【输入样例】

10

【输出样例】

2 3 5 7

我们用一个数组a来标识素数的情况（0是，1不是），首先将大于1且不大于n的所有数都标识为素数。举一个例子，n=9时，初始化为：

 

2    

3      

4        

5      

6      

7     

8     

9        

数组a

0

0

0

0

0

0

0

0

 

 

 

从2开始判断，2是素数，因此2的倍数（倍数>1）肯定不是素数，将其筛去：

 

2     

3      

4       

5   

6     

7     

8       

9         

数组a

0

0

1

0

1

0

1

0

 

 

 

接着是3，3没有被2的倍数筛去，因此3是素数，将3的倍数（倍数>1）筛去：

 

2      

3       

4        

5       

6        

7       

8       

9    

数组a

0

0

1

0

1

0

1

1

 

 

 

接着是4，4是2的倍数已被筛去，4的2倍也是2的4倍数已被筛去，4的3倍已超过9不必考虑。

接着是5，5没有被前面的数筛去，即说明5不能被2~4的数整除，因此5是素数，5的2倍是10，已经超过9不必考虑。

接着是6，6是2的3倍已被筛去，6的倍数与前类同。

接着是7，7没有被前面的数筛去，说明7是素数，7的倍数与前类同。

接着是8，8是2的4倍已被筛去，8的倍数与前类同。

接着是9，9是3的倍数已被筛去，9的倍数与前类同。

现在有一个问题：难道要枚举到9才结束吗？这样的话效率依然没有提高。大家可以发现上述例子中，枚举到4（包括4）以后便没有新的数被筛去，为什么？我们来看4的时候，此时4的2倍已经在考虑2的倍数时筛去，4的3倍便超过了9，这是因为9的平方根是3，任意两个不同的数（>=3）相乘肯定会大于9。因此，在考虑5，6，7，8，9时，他们的倍数（倍数>1）均超过了n的最大值9，不必考虑；他们自身如果没有被前面的数筛去，即是素数，否则不是。

所以，对于输入的n来说，本算法只需要枚举到n的平方根，即可将不大于n的所有素数标识出来。

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<vector>#include<cmath>using namespace std;int a[1000000];bool find(int x){    for(int i=2;i<sqrt(x);i++)        if(x%2 !=0)        return false;    return true;}int main(){    int tmp;    int n;    while(scanf("%d",&n))    {        if(n == 0)        break;        memset(a,0,sizeof(a));        for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)        {            if(a[i] == 0&&find(a[i]))            {                int j=i;                tmp=2;                while(j<=n)                {                   j=i*tmp;                   a[j] = 1;                   tmp++;                }            }        }        for(int i=2;i<=n;i++)        {            if(a[i]==0)            printf("%d ",i);        }        printf("\n");    }    return 0;}