博弈入门必备知识&&入门题 hdu1846 HDU1847 HDU1527 hdu2516 HDU1849 HDU1848 HDU1907

• 大部分文字是贴来的。。。

  好不容易重新排了格式这里把开头缩进全吞了。。。T T

  
  

  
  

  巴什博奕（Bash Game）

  
  

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。 

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

一般方法：

步骤1:将所有终结位置标记为必败点（P点）；

步骤2: 将所有一步操作能进入必败点（P点）的位置标记为必胜点（N点）

步骤3:如果从某个点开始的所有一步操作都只能进入必胜点（N点），则将该点标记为必败点（P点）；

步骤4: 如果在步骤3未能找到新的必败（P点），则算法终止；否则，返回到步骤2。

• 威佐夫博奕(Wythoff Game)

  
  

    有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 

　这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。

    前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。 

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k。

奇异局势有如下三条性质：

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。 

由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1成立。 

2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。 

事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。 

3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是(a,b)

若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)；

1.  如果a = ak,

1.1   b> bk, 那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势(ak, bk)；

1.2   b< bk 则同时从两堆中拿走 ak– a[b – ak]个物体,变为奇异局势( a[b – ak] , a[b – ak]+ b -ak)；

2  如果a = bk ,

2.1   b> ak ,则从第二堆中拿走多余的数量b– ak

2.2   b< ak ,则 若b = aj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数量a– bj; (a > bj)

若b = bj (j < k) 从第一堆中拿走多余的数量a– aj; ( a > aj)

结论：

两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。 

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式： 

a(k) =[k（1+√5）/2]，b(k)= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数) 

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1 + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

• 尼姆博奕(Nimm Game)

  
  

       有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 

　　这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。 

　　计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，（PS：异或运算 a^b=二进制位相同得0 不同得1）

我们用符号（+）表示这种运算，先看（1，2，3）的按位模2加的结果： 

　　1 =二进制01 

　　2 =二进制10 

　　3 =二进制11 （+） 

　　——————— 

　　0 =二进制00 （注意不进位） 

　　对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。 

　　任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。 （证明过程点这里~）

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设a < b < c,我们只要将c 变为a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从c中减去c-（a（+）b）即可。

一些相关知识：
P N 状态:
我们可以把这些点按照会导致胜利或失败分类, 如果两个玩家都采取最佳策略, 那么, 如果处于当前点的玩家最终获胜, 这个点就是N点(获胜点), 否者就是 P点(失败点)
我们可以按下面的方式来判断一个点是N 或者P
● 一个点是P点, 当且仅当他所有的有向邻接点是N点
● 一个点是N点, 当且仅当有一个有向邻接点是P点
知道了这些, 就能提供最佳策略了, 每次往P点走, 就把失败留给敌人了

什么是SG函数？相关内容点这里。。

hdu1846 Brave Game

巴什博奕 关键在于判断当前点是否是（m+1）的倍数

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int n,a,b;    scanf("%d",&n);    while(n--)    {        scanf("%d%d",&a,&b);        if(a%(b+1)==0)        printf("second\n");        else printf("first\n");    }    return 0;}

HDU 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!
这也是一道巴什博弈：
这题如果你是先手，考虑你的必胜态。注意，因为任何正整数都能写成若干个2的整数次方幂之和。由于规定只能取2的某个整数次方幂，只要你留给对手的牌数为3的倍数时，那么你就必赢，因为留下3的倍数时，对手有两种情况：
1：如果轮到对方抓牌时只剩3张牌，对方要么取1张，要么取2张，剩下的你全取走，win！ 
2：如果轮到对方抓牌时还剩3*k张牌，对手不管取多少，剩下的牌数是3*x+1或者3*x+2。轮到你时，你又可以构造一个3的倍数。 所以无论哪种情况，当你留给对手为3*k的时候，你是必胜的。
题目说Kiki先抓牌，那么当牌数为3的倍数时，Kiki就输了。否则Kiki就能利用先手优势将留给对方的牌数变成3的倍数，就必胜。

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        if(n%3) printf("Kiki\n");        else printf("Cici\n");    }    return 0;}

HDU1527 取石子游戏

威佐夫博奕 黄金分割的应用

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int a,b,m;    while(~scanf("%d%d",&a,&b))    {        if(a>b) swap(a,b);        m=b-a;        if(a==int(m*(1+sqrt(5.0))*0.5))            printf("0\n");        else printf("1\n");    }    return 0;}

hdu2516 取石子游戏

这不知道是什么博弈啊。。就找规律啊。。肥不拉几数列啊。。

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;__int64 n,f[50]={1,2};int main(){    int i,flag;    scanf("%d",&n);    for(i=2;i<=45;i++)    {        f[i]=f[i-1]+f[i-2];    }    while(n)    {        for(i=0,flag=1;i<46;i++)            if(n==f[i])            {                printf("Second win\n");                flag=0;                break;            }        if(flag) printf("First win\n");        scanf("%d",&n);    }    return 0;}

HDU 1849 Rabbit and Grass

NIM博弈 有n堆物体的局势也一样 全部异或判断

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int n,p;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        if(n==0) break;        int ans=0;        for(int i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d",&p);            ans^=p;        }        if(ans==0)        printf("Grass Win!\n");        else printf("Rabbit Win!\n");    }    return 0;}

HDU 1848 Fibonacci again and again

NIM博弈 

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;#define MAX 1005int SG[MAX], hash[MAX];void GetSG(int Array[], int n = MAX - 1)//求SG值模板{    int i, j;    memset(SG, 0, sizeof(SG));    for(i = 0; i <= n; i++)    {        memset(hash, 0, sizeof(hash));        for(j = 1; j <= i; j++) //注意：Array(存储可以走的步数)        {            if(i < Array[j])                break;            hash[SG[i - Array[j]]] = 1;        }        for(j = 0; j <= n; j++)            if(hash[j] == 0)            {                SG[i] = j;                break;            }    }}int f[1005]={1,2},m,p;int main(){    int i,n;    for(i=2;i<1000;i++)        f[i]=f[i-1]+f[i-2];    GetSG(f);    scanf("%d%d%d",&m,&n,&p);    while(m||n||p)    {        if((SG[m]^SG[n]^SG[p])) printf("Fibo\n");        else printf("Nacci\n");        scanf("%d%d%d",&m,&n,&p);    }    return 0;}

HDU 1907 John

NIM博弈

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int t,n,ans,flag,p[50];    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        ans=0,flag=0;        scanf("%d",&n);        for(int i=0; i<n; i++)        {            scanf("%d",&p[i]);            if(p[i]!=1)                flag=1;            ans^=p[i];        }        if(flag)        {            if(ans==0)                printf("Brother\n");            else printf("John\n");        }        else        {            if(n%2!=0)                printf("Brother\n");            else printf("John\n");        }    }    return 0;}

个人总结：

1.博弈类型的题，先用数学归纳法找找规律。

2.关键在于推出必败点。

3.三种典型博弈要记清楚。会运用SG函数。

4.看清楚题目里面有几堆。。判断是哪种类型的博弈