Bloom Filter算法

一 简介

    布隆过滤器也即Bloom Filter算法  一个布隆过滤器由以下几个部分组成

   （1）n个位组成的数组，每个位初始值都是0

   （2）一系列哈希哈书h1,h2,h3.....hk组成的集合。每个哈希函数将“键”值映射到上述n个桶（对应于位数组的n个位）中。  

  （3）m个键值组成的集合S。

布隆过滤器的目的是让所有键值在S中的流元素通过，而阻挡大部分键值不再S中的流元素，哈希函数hi及S中的键值K，将每个hi(K)对应的位置为1.

  当键值为K的流元素到达时，检查所有的h1(k)， h2(k) ，h3(k)....hk(k)对应的位是否全部都是1.如果是则允许该元素通过，如果有一位或多位为0，则认为K不可能在S中。则拒绝该元素通过。

  如果元素键值在S中出现一定会通过布隆过滤器，但是元素键值不在S中的元素也有可能会通过。我们需要了解如何基于位数组长度n，集合S的元素数目m及哈希函数的数目k来计算false positive概率。

二 Bloom Filter算法思路

    1.我们有一个长度为n的比特数组，开始的时候将这个比特数组里所有的元素都初始化为0

        00000000000000000000

       上面的比特数组n为20

  2. 然后选取k个哈希函数，这k个哈希函数产生的结果的值的范围在0到n-1之间（对于上面的比特数组，即0到19）     。对每个要添加进集合的对象进行哈希运算，然后将哈希计算结果作为数组的索引，将索引位置的比特位设置为     1（不管该比特位原先为0还是为1）。

    比如我们选取三个哈希函数，对于对象A哈希值为0，5，7。那么比特数组就为：

          10000101000000000000

    对象B的值为2，8，13，那么添加B后的比特数组为：

          10100101100001000000

    对象C为0，4，7（对象C的第一个哈希函数的值与对象A的相同了，没关系我们还是设置为1就可以了）：

           10101101100001000000

现在我们的Bloom Filter里已经有3个元素了。现在我们要判断某元素X是否在该集合中。就相当于我们要实现一个contains方法。

对元素X采用相同的三个哈希函数哈希，然后以这三个哈希值为索引去比特数组里找。如果三个索引位置的比特位都为1我们就认为该元素在集合中，否则不是。

 三 Bloom Filter算法应用

  比如假设我们有一个缓存服务器集群，集群里的不同的服务器承担的缓存也不尽相同。如果一个用户请求过来了，我们如何能快速的判断出用户请求的这个url在集群里哪台服务器上呢？因为每台服务器上缓存的url对应的页面非常庞大，我们全部弄到内存里代价也很高。我们就可以在每台服务器上放一个Bloom Filter，里面添加的都是本服务器上有缓存的那些url。这样即使Bloom Filter误报了，那就是把一个url发到了一个并不持有该url对应的缓存的服务器上，结果就是缓存未命中，缓存服务器只需要将该url打到后端的上游服务器就好了。

3.1  计算false positive概率：

    假设有y只飞镖和x个靶位。每只飞镖投中每个靶位的机会均等，飞镖投出去之后预计有多少个靶位至少会被投中一次？

    **给定飞镖不能投中给定靶位的概率是(x-1)/x

    **y只飞镖全部都没有投中给定靶位的概率是((x-1)/x)^y,该式可以写成(1-1/x)^x*(y/x)

高等数学中有证明：a很小时有  (1-a)^1/a=1/e.    其中e 为自然对数。

假定集合有S个元素，位数组容量为n，而哈希函数有k个。靶位数目为x=n,飞镖数目为 y=km。投完所有飞镖之后某位任然为0的概率为   

 e^(-km/n)

 我们的目标是使得0的比率很大,否则非S中的元素至少有一次哈希为0的概率就太小，从而出现太多的假正例。

假正例也即一个位为1的概率(1-e^(-km/n))的k次方，即(1-e^(-km/n))^k