与树相关的公式、定理

根据树的叶子结点个数、非叶子节点个数、树的深度等等，推导出的公式、定理也有不少，可以自己手工推算一下，记忆会更深刻，此博文只介绍公式、定理内容，不作推导。

1. 二叉树第i层上至多有2^i-1个结点，其中i大于等于1，2^i表示2的i次方；

2. 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点，其中k大于等于1；

3. 任何一颗非空二叉树，若它的叶子结点数为m，2度结点数为n，则m=n+1；

4. 具有n个结点的完全二叉树深度为；

5. 设完全二叉树中结点编号依次为1到n：

    i=1: 无双亲；

    i不等于1：双亲编号；

    2i>n：无左孩子，否则左孩子为2i；

    2i+1>n：无右孩子，否则有孩子为2i+1.

6.  二叉树不是树的特殊情形，而是与树不同的数据结构，即二叉树并不等价于2度的树；

    完全二叉树的存储：将所有结点按层次次序存储在一组地址连续的存储单元中；

    非完全二叉树的存储：先扩充为完全二叉树，再按完全二叉树存之。

7. 折半查找判定树是任一结点的左、右子树上的结点数最多相差一的二叉树，除最下面一层外，各层结点数均达到最大值。

8. 二叉排序树：左孩子的值<根的值<右孩子的值，新节点作为二叉排序树的叶子。

9. 平衡二叉树（AVL树）：任何结点的左子树和右子树的高度最多相差一的二叉排序树。

    平衡因子：-1,0,1.

10. 几个例子

   （1）设一个二叉树有3个叶子结点，8个度为1的结点，则共有结点（13）个。

      分析：定理 任一非空二叉树结点总数为：n=n0+n1+n2  （n0、n1、n2分别为度为0、1、2的结点个数），

                          分支总数为b=n1+n2

                                            b=n-1=n0+n1+n2-1

                          所以  n2=n0-1

                          结点数为 3+2+8=13

    （2）设一棵完全二叉树共699个结点，则叶子结点数为（350）。

      分析：2^10>699>2^9-1  可见共10层，9层全满（2^9-1=511）

                第10层有 699-511=188个叶子结点

                2^(9-1)-188/2=162个叶子结点在第9层，共188+162=350个叶子结点。