演绎推理与归纳推理

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试列举出演绎推理和归纳推理各一例

演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理。例子：一个三角形，或者是锐角三角形，或者是钝角三角形，或者是直角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。
归纳推理是由特殊的前提推出普遍性结论的推理。例子：锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡三角形的面积等于底乘高的一半。

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对于回答"李约瑟（Joseph Needham，1900-1995）难题"的一个共识,许多科学家都认识到，中国近代科学落后的一个重要方面是中国古代只重归纳，不善演绎.这归结到中国古代思维方式的影响.正如杨振宁所说:“中华文化有归纳法，可没有推演法.而近代科学是把归纳法和推演法结合起来而发展的，推演法对于近代科学产生的影响无法估量.”

 

那么什么是演绎推理? 

 

所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.这是因为，演绎推理保证推理有效的根据，并不在于它的内容，而在于它的形式.演绎推理的最典型，同时也是最重要的应用，通常存在于逻辑和数学证明中.

 

亚里士多德(Aristotle 384 - 322BC) 是古代知识的集大成者.在现代欧洲的学术上的文艺复兴以前，虽然也有一些人在促进我们对自然界的特殊部分的认识方面取得可观的成绩，但是，在他死后的数百年间从来没有一个人象他那样对知识有过那样系统的考察和全面的把握，所以，他在科学史上占有很高的地位.是主张进行有组织的研究演绎推理的第一人.

 

作为自然科学史上第一个思想体系的光辉的例子是欧几里得（Euclid，325 BC- 265 BC）几何学.古希腊的数学家欧几里得是以他的《几何原本》而著称于世的.欧几里得的巨大历史功勋不仅在于建立了一种几何学，而且在于首创了一种科研方法.这方法所授益于后人的，甚至超过了几何学本身.欧几里德是第一个将亚里士多德用三段论形式表述的演绎法用于构建实际知识体系的人，欧几里德的几何学正是一门严密的演绎体系，它从为数不多的公理出发推导出众多的定理，再用这些定理去解决实际问题.比起欧几里德几何学中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大.事实上，欧几里德本人对它的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性.欧几里德的几何学是人类知识史上的一座丰碑，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式.从此以后，将人类的知识整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想.斯宾诺莎(Benedict de Spinoza,1632-1677)的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿(Isaac Newton 1642--1727)的《自然哲学的数学原理》同样如此. 其实，他的这部巨著的主要内容都是前人经验的积累，欧氏的贡献在于他从公理和公设出发，用演绎法把几何学的知识贯穿起来，揭示了一个知识系统的整体结构.他破天荒地开辟另一条大路，即建立了一个演绎法的思想体系.直到今天，他所创建的这种演绎系统和公理化方法，仍然是科学工作者不可须臾离开的东西.后来的科学巨人,英国物理学家，经典电磁理论的奠基人麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831～1879）,牛顿(Isaac Newton 1642--1727),爱因斯坦(Albert Einstein 1879--1955)等，在创建自己的科学体系时,无不是对这种方法的成功运用.

 

西方欧几里德几何方法，由公理到定理再到证明；笛卡尔(Réné Descartes 1596 - 1650 )的演绎推理成为西方近代科学发展的重要推理形式，牛顿力学就是例子.牛顿虽然声明过“我不需要假设”.但实际上，他仍然需要假设.不用假设，他就无法得到“万有引力”这样的普遍命题和普遍规律.麦克斯韦则在得到maxwekk方程同时应用了三种方法.他在1865年写了三篇文章：第一篇用归纳法，第二篇用类比法，第三篇用演绎法，推出电磁波存在，并预言了光是电磁波.再例如，古希腊的原子概念、原子论，“它的价值不仅在于提出了一切物质由‘原子’构成的想法，更重要的可能还在于：它隐含了一种假设——演绎推理模式.

 

爱因斯坦说：理论家的工作可分成两步，首先是发现公理，其次是从公理推出结论.哪一步更难些呢?如果科研人员在学生时代已经得到很好的基本理论、逻辑推理和数学的训练，那么，他走第二步时，只要有“相当勤奋和聪明，就一定能够成功”.至于第一步，如何找出演绎出发点的公理，则具有完全不同的性质。这里没有一般的方法，“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理”，请注意“经验事实”这几个字，它们表明了爱因斯坦方法论中的主流是唯物主义.公理必须来自客观实际，而不能主观臆造，否则就有陷进唯心主义泥潭的危险.爱因斯坦还说：“适用于科学幼年时代以归纳为主的方法，正让位于探索性的演绎法”.爱因斯坦的方法既然主要是演绎的，所以他特别强调思维的作用，尤其是想象力的作用.数学才能.这是演绎法所必不可少的.

 

演绎推理是严格的逻辑推理，一般表现为大前提、小前提、结论的三段论模式:即从两个反映客观世界对象的联系和关系的判断中得出新的判断的推理形式.如：“自然界一切物质都是可分的，基本粒子是自然界的物质，因此，基本粒子是可分的.”演绎推理的基本要求是：一是大、小前提的判断必须是真实的；二是推理过程必须符合正确的逻辑形式和规则.演绎推理的正确与否首先取决于大前提的正确与否.如果大前提错了，结论自然不会正确. 

 

亚里士多德有《工具论》，弗兰西斯·培根（F.Bacon,1561-1626),写下了《学术的进展》、《新工具》、《科学的进展》等开创一代新风的著作，倡导归纳推理和研究的方法，不仅从根本上摆脱了亚里斯多德的演绎三段论的影响，而且用科学研究的热忱代替了当时无休止的神学争论.是培根给知识下了一个全然不同于传统的定义.在培根以前，对知识的流行的见解大致是建立在以亚里斯多德为代表的希腊文化基础上的.人们对知识的普遍理解是“知识就是德性”，追求知识也就是追求德性.培根以后，“知识就是德性”和“知识就是力量”成了人们界定知识趣味的最高标准.培根是英国近代唯物主义哲学家，他是经验论者，强调归纳法.他认为科学定律是通过归纳得出的.他强调知识就是力量，搞科学就是要征服自然，控制自然.也是近代归纳逻辑的创始人，他在总结前人归纳法的基础上，在批判了经院逻辑和亚里士多德逻辑之后，以其古典归纳逻辑名著《新工具》为标志，奠定了归纳逻辑的基础由特殊到一般的推理叫做归纳推理，它是合情的或然推理，其结论不一定为真，必须补加证明或反驳，结论的似真性是归纳推理的主要特征，因此把归纳推理叫做似真推理，也叫数学猜想.

 

什么叫归纳推理？ 

所谓归纳推理，是指从个别性的前提出发，通过感官的观察和经验的推理，得出一个具有或然性的一般结论的过程.从整个认识范围来看，演绎与归纳是互补的而不是对立的关系：演绎推理告诉我们，当一个前提确定时我们如何能够有效地从中引出何种结论；而归纳推理则告诉我们，在给定的经验性证据基础上，怎样的结论才是可能的。尽管归纳推理所给予的只是一种或然性的结论，但并不意味着这种推理是无价值的。事实上，假如没有在感官观察和经验概括基础上形成一般性结论的归纳推理过程，科学将成为不可能。

 

凡是从个别知识的前提推出一般知识的结论的推理都称为归纳推理。归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理。所谓完全归纳推理就是考察了某一类事物的．全部的个体对象，而概括出的一般结论。这种完全归纳推理既是一种发现的方法，同时也是一种论证的方法。但是，人们对客观世界的探索中，常常是不可能将某类事物所有的对象都一一考察完后再做结论。于是，在更多的情况下运用的是不完全归纳推理。所谓不完全归纳推理是根据某类事物中的部分对象具有(或不具有)某种属性，从而得出这一类对象都具有(或不具有)某种属性的结论。

 

归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的.也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理.

 

著名的哥德巴赫猜想，就是用归纳推理的形式提出来的.

 

1742年，德国数学家哥德巴赫（C Goldbach，1690-1764）根据奇数77＝53＋17＋7，461＝449＋7＋5＝257＋199＋5，等例子，看出许多奇数都可以由三个素数相加而得到，于是，他归纳出一个规律：所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和.他把这个猜想写信给欧拉，欧拉肯定了他的想法，而且补充提出：4以后每个偶数都可以分解为两个素数之和.这两个命题后来就合称为哥德巴赫猜想.

归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般.其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的.一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实.而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的.也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的.

归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理.当然，归纳推理也离不开演绎推理.比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动.而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证.从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理.

归纳推理是从个别到一般，而演绎推理则是从一般到个别，在实际的思维过程中，二者是相互联系、相互渗透的.演绎推理中的大前提是从归纳推理中得出来的，而没有演绎推理也不可能实现认识的归纳过程.不完全归纳推理有待演绎推理的论证和补充.正如恩格斯指出的：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的."

从自然辩证法的原理来看，归纳法和演绎法密不可分，把它们割裂开来看本身就是不对的.归纳法和推演法的兼备，是西方近代科学的本质.

 

在古代，数学方法和实验方法仅处于萌芽状态，并分别隶属于不同以至对立的知识传统－－学者传统和工匠传统.而且它们在自然研究中的地位并不等同.中世纪后期及文艺复兴时代很多著名学者都提倡这两种方法，但仍把两者孤立地看待.至于弗•培根则反对数学方法的应用.在近代科学中第一个把两种方法有机结合起来的是伽利略.

 

生活在文艺复兴时期的意大利科学家伽利略(Galileo Galilei 1564--1642)对亚里士多德的一些错误观点发起了冲击，他使用的就是实验科学的方法.

 

他所提出的实验－数学方法的基本思想是：针对一个科学问题，必须要以定量实验的观测结果作为出发点和判定理论真伪的标准，同时要运用数学抽象来描述关于客体的各种基本概念和基本关系,  即用数学模型来表征物理实在及其运动规律。这种方法突出地表现在他的力学研究中。正如英国著名科学史家亚•沃尔夫(Abraham Wolf)指出：“伽利略对于落体定律、摆和抛射体运动的研究，提供了科学地把定量实验与数学论证相结合的典范，它至今仍是精密科学的理想方法”。

 

伽利略对物理规律的论证非常严格.他创立了对物理理象进行实验研究并把实验的方法与数学方法、逻辑论证相结合的科学研究方法.例如，为了说明惯性，他曾设计一个无摩擦的理想实验：在一定点O悬挂一单摆，将摆球拉到离竖直位置一定距离的左侧A点，释放小球，小球将摆到竖直位置的右侧B点，此时A点与B点处于同一高度.若在O的正下方C用钉子改变单摆的运动路线，小球将摆到与A、B两点同样高度的D.伽利略指出，对于斜面会得出同样的结论.他将两个斜面对接起来，让小球沿一个斜面从静止滚下，小球将滚上另一斜面.如果无摩擦，小球将上升到原来的高度.他推论说，如果减小第二个斜面的倾角，小球在这个斜面达到原来的高度就要通过更长的距离.继续使第二个斜面的倾角越来越小，小球将合滚得越来越远.如果第二个斜面改成水平面，小球就永远达不到原来的高度，而要沿水平面以恒定速度持续运动下去.伽利略设计的实验虽是想象中的，但却是建立在可靠的事实的基础上.把研究的事物理想化，就可以更加突出事物的主要特征，化繁为简，易于认识其规律.伽利略的这一自然科学新方法，有力地促进物理学的发展，他因此被誉为是“经典物理学的奠基人”.

伽利略的科学发现，不仅在物理学史上而且在整个科学中上都占有极其重要的地位。他不仅纠正了统治欧洲近两千年的亚里士多德的错误观点，更创立了研究自然科学的新方法.

伽利略在总结自己的科学研究方法时说过，“这是第一次为新的方法打开了大门，这种将带来大量奇妙成果的新方法，在未来的年代里，会博得许多人的重视.”后来，惠更斯继续了伽利略的研究工作，他导出了单摆的周期公式和向心加速度的数学表达式.牛顿在系统地总结了伽利略、惠更斯等人的工作后，得到了万有引力定律和牛顿运动三定律.伽利略留给后人的精神财富是宝贵的.爱因斯坦曾这样评价:“伽利略的发现，以及他所用的科学推理方法，是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正的开端！”.

其实，近代科学的鼻祖，弗郎西斯.培根的基本思想之一，就是重视实验，伽里略则是这一理念的伟大的实践者.

伽利略在其毕生的科学研究工作中，反对脱离实验的抽象推理，强调自然科学要重视实验，科学定律应由实验证明.他研究问题的方法既不是经验论者的所谓纯归纳法，如培根（F·Bacon）、洛克（J·Locke）和迈尔（J·Mill），亦非理性主义者，如笛卡尔（R·Descartes）的纯演绎法，而是归纳法与演绎法的巧妙结合：实验与理论结合——伽利略的综合法.伽利略的这种方法，是人类在第一次了解和认识自然的过程中的一种正确认识事物的方法，其主要步骤是：（1）通过观察，取得直观认识中各量间的关系.（2）用演绎的方法求出各量之间的基本数学关系式.（3）用实验检验，证明数学关系式的正确性.前两步是由感性认识上升到理性认识，后一步是用实践去检验.

伽利略所创立的实验科学的方法，成了后来的科学工作者最基本的研究方法之一. 

出生于19世纪的俄国化学家门捷列夫并未发现过一个新元素,但他却用分析和归纳的方法,把当时已经发现的63种元素排列出一张周期表.人们利用这张表,不但改正了一些元素原子量的测量错误,而且指导发现了一些新元素.门捷列夫创立的方法论，同样给了后人以极大的启迪，是一种有着普遍意义的研究方法.

归纳推理和由具体到一般的研究方法的问世实在是一件了不起的大事。它从根本上改变了人们对世界的看法.仅就政治思维而言，如果说亚里士多德的演绎推理有可能导致专制主义，那么培根的归纳推理则为民主政治提供了方法上的保障.演绎推理是一种从一般到个别的自上而下的思维方法，大前提往往被看做绝对真理，用以压制不同意见，因此常被人们攻击为专制主义的思维方式.归纳推理则不然，它是从个别到一般的从下往上的思维方式，因此被视为民主的思维方式.民主制度之所以首先在英国形成，而专治则在大陆国家成为传统，这在很大的程度上都是由于思维方式的不同所致.

 

科学方法在科学探索中的极端重要性，不但科学家十分重视，哲学家也给予高度评价。亚里士多德有《工具论》，培根有《新工具》.20世纪英国著名哲学家维特根斯坦把方法看作是唯一的研究成果，他说：“我所能给你的一切，就只是一种方法.”另一位著名哲学家怀特海(Alfred North Whitehead 1861--1947)在赞扬了19世纪的科学技术成就之后说：“19世纪最大的发明就是找到了发明的方法，一种新方法进入人类生活中来了.如果要理解我们这个时代，有许多变化的细节，如铁路、电报、无线电、纺织机、综合染料等等，都可以不必谈，我们的注意力必须集中在方法的本身.这才是震撼古老文明基础的真正新鲜事物.”怀特海进而又说：“这整个的变化是在新的科学知识基础上产生的.科学被人们认识到的地方多半是它的结果而不是它的原理，因而便显然成为实用观念的储存所.但我们如果要理解这个世界发生了一些什么事情，那么把它比成一个矿藏要比储存所更恰当些.同时，我们如果认为科学概念的本质就是人们所需要的发明，因而只要拿起来就可以用，那便大错特错了.在科学概念与发明中间隔着一个绞尽脑汁的构思设计阶段.新方法中有一个因素便是设法把科学概念与最后成果之间的鸿沟填起来.这是有组织有步骤地向一个又一个的困难进攻的过程.”