Unique Paths

题目

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

思路：动态规划

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        // Start typing your C/C++ solution below        // DO NOT write int main() function        vector<vector<int> > path(m+1, vector<int>(n+1,0) );        path[1][1]=1;        for(int i=1;i<=m;i++)        {            for(int j=1;j<=n;j++)            {                if(i==1 || j==1)                    path[i][j] = 1;                else                    path[i][j] = path[i-1][j]+path[i][j-1];                            }        }        return path[m][n];    }};

 

最新 java

public class Solution {    public int uniquePaths(int m, int n) {        // if (m == 1 || n == 1) {        //     return 1;        // }        // return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);                int[] count = new int[n];        for(int i=0; i<n; i++){            count[i] = 1;        }        for(int i=1; i<m; i++){            for(int j=1; j<n; j++){                count[j] +=count[j-1];            }        }        return count[n-1];            }}

看似简单一道题，就是mxn的格子里从左上角走到右下角有多少种走法，只能向右或向下走。

分析：向下需要 m-1 步，向右需要 n-1 步，所以总的走法就是 C(m-1,  m-1+n-1) 或者 C(n-1， m-1+n-1)。

方法1：开始时想到用递归（回溯法）：

int uniquePathsBackTrack(int m, int n) {

      if(m==1 || n==1) return 1;

      return uniquePaths(m-1, n) + uniquePaths(m, n-1);

 }

只需要着两行代码，但是超时了。然后又想用计算 排列组合的分子、分母，相除的方法，结果错误，说明Note中提示m、n最大为100是有用的，即你计算阶乘时int会溢出的。

方法2：动态规划，定义一个二维数组 A[M][N]，从左上开始依次计算每一行的值，最后返回 A[M-1][N-1]即可，递推方程是：

A[I][J]=A[I-1][J]+A[I][J-1]；

[cpp] view plaincopyprint?

1. class Solution {  
2. public:  
3.     int uniquePaths(int m, int n) {  
4.         vector<vector<int>> v(m, vector<int>(n, 1));  
5.         for(int i=1; i<m; ++i){  
6.             for(int j=1; j<n; ++j){  
7.                 v[i][j]=v[i-1][j]+v[i][j-1];  
8.             }  
9.         }  
10.         return v[m-1][n-1];  
11.     }  
12. };  

还可以继续优化，用一个长度为 n 的一维数组即可，数组元素初始值都设为1，递推方程为：

A[J] += A[J-1]；

        也就是从第二行开始更新数组值，每次都存储当前行的值，到最后一行计算完成后，返回 A[N-1]即可。

[cpp] view plaincopyprint?

1. class Solution {  
2. public:  
3.     int uniquePaths(int m, int n) {  
4.         vector<int> v(n, 1);  
5.         for(int i=1; i<m; ++i){  
6.             for(int j=1; j<n; ++j){  
7.                 v[j]+=v[j-1];  
8.             }  
9.         }  
10.         return v[n-1];  
11.     }  
12. };