KMP算法及POJ上相关的题目

KMP算法的介绍与POJ上一些相关的题目

一 ：KMP算法的介绍

KMP算法的核心是构造next[]数组。先搞清楚next数组的含义。例如：next[j] = k;这样的一个式子表示的含义是：当主串中第i个元素与模式串中的第j个元素匹配失败时，应该保持i指针不动，而将模式串中的j指针移动到k这个位置。然后将主串中第i个元素与模式串中的第j个元素匹配。若匹配的话就同时移动i和j指针。不匹配的话，再次计算next[k] = ?.....依次进行。

所以KMP算法的本质就是主串中i指针不回溯。

      下面来一步步的证明next[]数组的构造过程。

第一步：

      设主串S = “s₁s₂…s_n”,   T= “t₁t₂…t_m”.

若满足：

(1) “s_i-j+1…s_i-1” = “t₁..t_j-1”;

(2)  “t₁t₂…t_k-1”= “t_j-k+1t_j-k+1…t_j-1”;(1<k<j)

在同时满足(1),(2)的条件下，可以直接比较s_i 和 t_k；

若对于任意的1<k<j,条件(2)都不满足，则直接比较s_i和t₁；

第二步：

模式串t的next函数：

当s_i 和t_j  匹配失败时，s_i与t_next(j) 匹配。

第三步：

求 next()函数的算法：因为已知next(0) = -1,只要找出next(j+1)与next(j)之间的关系，就可以求出所有的next(j).

初始算法：

(1)  初值next(0) = -1;

(2)  设next(j) = k, 说明“t₁t₂…t_k-1”= “t_j-k+1t_j-k+1…t_j-1”;(1<k<j)

     (2-1) 若t_j = t_k, 则有“t₁t₂…t_k-1t_k” = “t_j-k+1t_j-k+1…t_j-1t_j”; (1<k<j)

           所以next(j+1) = next(j) + 1 = k + 1;

      (2-2)若t_j  t_k，因为有next(k) = k^’,

则必然有：“t₁t₂…t_k’-1”= “t_j-k’+1…t_j-1”;

(2-2-1) 若t_j = t_k’，则next(j+1) =next(next(j)) + 1 = k^’+ 1;

(2-2-2)若t_j  t_k’ ,则重复(2-2).直到不存在K⁽ⁿ⁾,则next(j+1)=0;

第四步：

求next函数算法：

void get_next(sstring T, int &next[])

{

  //求模式串T的next函数值并存入数组next。

  j=1; k=next[j]=0;

  while (j<T[0])    //计算next(j)从next(2)到next(T[0])，T[0]是T的长度

//但并不意味着只循环m-1次，因为在循环体中j的值可能不发生变化

    if (k==0||T[j]==T[k])// 没有重叠真子串和（有重叠真子串但T[j]==T[k]）时

                     //都应该得出next(j+1)的值

      next[++j]=++k;//书上：{++j ; ++k;next[j]=k;}

    else k=next(k);//否则，得不出next(j+1)的值，所以j不变，k退回到next(k)，重复匹配。

}//end ofget_next

二：POJ上一些相关的题目

由于初学KMP，所以做的都是一些比较简单的题目。

（参考博客：http://blog.csdn.net/lalor/article/details/7358956）

 

1.   POJ 3461 http://poj.org/problem?id=3461

题意：求模式串在主串中出现的次数。当匹配一次成功的时候，假设最后一个字符没有匹配成功，则j=next[j];所以只需把匹配的过程稍微改变一下即可。

 

2: POJ 2752 http://poj.org/problem?id=2752

题意：求给定串中所有前缀和后缀相等的情况。

假设当前j指针指向最后一个字符，next(j)= j^’ ,所以3-1区间与4-5区间相同。

接着next(j^’) = j^’’,所以①与②区间相同。假设存在一个点，把4-5区间分成了③，④。因为①+②与③+④相同，所以③与④相同，所以①与④相同。

3．POJ 2406 http://poj.org/problem?id=2406

题意：求给定串中重复串的个数。

用到了：if(len %(len – next[len])== 0) ans = len / (len – next[len]);

不会证明。

4．POJ 1961 http://poj.org/problem?id=1961

题意：求给定串中所有前缀的重复串的个数。

与上一题一样的思路。