图灵机和NP

有朋友问什么是图灵机以及NP。理论界的老大们都喜欢云山雾罩公式套公式，圆环套圆环，不diao骂人不吐脏字、讲题不带公式的娱乐界原则。搞得很多人提到图灵机和NP时表情就跟广西来宾市的老大们一样诡异。

 

其实呢，图灵机的来历忒单纯。以前一个叫图灵的闲人养了只无所事事的小母鸡。图灵成天忙着跑马拉松，懒得照顾它，就装了条在鸡看来无限长分格的传送带，定时传送食物和水。而鸡闲来无聊，便走来走去，在带子上摆放物事，权作耍子。郁闷时在格子里放根树枝。兴奋了在某个格子里下个蛋。想起了还可以把蛋换成树枝，或者把树枝换成蛋。不高兴了在传送带上扔颗石头，于是传送带就卡住了。某天小母鸡不小心把一株野生大麻当鸡骨草吞了，high得不行，绕着传送带发疯：

1. 在传送带靠左的地方放下一根树枝一个蛋：10
2. 在传送带靠右的地方放下两根树枝：11
3. 回到左边，把树枝拣起来，再把蛋换成树枝：1
4. 回到右边，把两根树枝换成一根树枝两个蛋：100
5. 回到左边，把树枝拣起来
6. 回到右边，把最右边的蛋换成树枝：101

这下左边的树枝和蛋都没了。小母鸡意兴索然，一怒之下扔颗石头卡死机器。

 

刚从杂货店提了袋苹果的图灵路过，目睹这一切。不由灵光一现：这不2+3=5么？原来加法还可以这么玩儿啊！以后不用为算帐发愁了。不过图灵的兴趣不在算帐，而在玩儿tic-tac-toe。问题是小母鸡智力有限。要她理解tic-tac-toe这样的东东还不如让公牛上树兔子下蛋。幸好图灵是个好琢磨的勤快人，没事喜欢读一个叫Kurt Godel的德国人的文章。而Godel崇拜一个叫David Hilbert的老乡。Hilbert在德国哥廷根讨生活时没事喜欢玄想，一不小心在世纪之交提出23个问题。居然引得此后100年来无数闲人神魂颠倒。Godel对第10个问题着了迷。研究几年后，写了篇帖子总结心得，顺便告诉大家，Hilbert也有猜错的时候。第10个问题的答案是我们不能依靠形式化方法找到所有丢番都方程的解。而推论就是大家就不用指望设立几个事实（闲人们管这叫公理），再用一套规则推出所有真理。“我们必须知道，我们必将知道”的难度比Hilbert预计的大多了。这一下彻底broke Hilbert’s heart。不过我跑题了。Godel的论文花了大量篇幅描述怎么用数字来表示自然数以外更复杂的东东（黑话叫encoding）。图灵应该看过这篇文章。他很快发现，用树枝和蛋完全可以模拟出tic-tac-toe。比如说四个蛋表示左上角画圈。三个蛋一根树枝, 0001，表示左上角画X。而且他证明了就算小母鸡吃了大力丸能用更复杂的符号在传送带上描述tic-tac-toe，也不过比她用树枝和蛋少花4log(|∑|)倍的时间而已。这里的|∑|代表一共有多少所谓的复杂符号。

 

于是图灵写了帖子，介绍他的鸡。后人就把这只鸡叫图灵鸡了。 而且人们惊奇地发现，虽然他们做出的机器越来越花哨，下国际象棋能让大尾巴狼卡斯帕罗夫肝肠寸断，失意江湖，也不过是一只摆放树枝和蛋时快如闪电的图灵鸡而已，和作古的正宗图灵鸡没有本质区别。我们为了纪念这个现象，就造了一专用名词，图灵等价。人们还观察到有些问题非图灵鸡不可，于是再造一词：图灵完备。现在很多老大喜欢把图灵完备和图灵等价混用。这好比说命题成立所以逆命题成立，多数时候不靠谱。不过这个话题值得单独写一帖子，以后再说吧。

图灵并不满足于简单的2＋3＝5和tic-tac-toe，所以他敏锐地注意到另一个重大挑战：如果每只鸡都只能做一种计算，他得养多少鸡组装多少传送带才能算帐啊？更别说下国际象棋了。人肉计算机图灵是做化繁为简的高手。这个高难问题被他举重若轻地解决了：首先他证明了任何图灵机都可以用树枝和蛋表达。然后他养了只更聪明的鸡(图灵搞了N年的数学生理学和形态发生学，大家知道是为什么了吧？)。这只鸡吃脑白金喝农夫山泉，嘛都不干，不打鸣不下蛋，但会识别理解用树枝和蛋描述的其它图灵机，并在传送带上模拟它们的操作。用闲人们的黑话总结，就是对任意问题x, 和 , 总存在一只鸡U，使得 。这里的 是用a这串树枝加蛋的长列表示的图灵鸡。这样的鸡，一只顶一万只啊。从此，图灵不需要再养那么多鸡了，他只需用树枝和蛋摆出算帐的方法，和提供数据，这只鸡就能算出结果。想到这里，图灵只觉元气充沛，不禁仰天长啸：I do chicken right. 这只新品种的鸡从此被称为元图灵鸡(Universal Turing Machine)。Universal者，我鸡一出百鸡杀之意也。元图灵鸡具有重大意义，代表了两大计算支柱（还有一个是self-reference）：universality，和duality。Universality我们才说了。而duality是说数据和程序本是如来佛祖座前绞在一块儿的两根灯芯。比如用树枝和蛋表示的图灵鸡，你说它是程序呢，还是数据？理论界的元老Martin Davis在他的书里甚至说储存程序的计算机这一革命性的概念就是起源于这只元图灵鸡。对了，当年英国有图灵这样的先驱，造出世界上第一台通用计算机，为什么到头来计算机历史让美国人独大呢？说来也是一段让人嗟叹的故事。一言以蔽之，笼中鸡不如走地鸡，走地鸡不如野鸡。有兴趣的可以读Andy Kessler的How We Got Here。这本书语言之生动，段子之幽默，故事之曲折，史料之有趣，实在不可多得。而且免费。不能不推荐的说。

当然，一只鸡是远远不够的。图灵在1952年写了一坨国际象棋程序，当时居然没有机器能跑动。很快闲人们一窝蜂扑向计算复杂性这个崭新的研究领域。4、50年前实在是烽烟四起的战国时代啊，到处是传奇英雄的传奇故事。好像随便什么领域都有震撼人心的发现。1964年，Alan Cobham和Jack Edmonds在ACM BBS上发帖，说如果一个问题能被一只图灵鸡用有限步骤解决，而解决的步数是这个问题长度的多项式，那么这个问题的复杂度就是P。P是Polynomial的缩写。可惜有些问题的算法远比P复杂，比如找出国际象棋对局的最佳策略。不过很快有人提出，有些问题虽然看似复杂，但验证这些问题的算法是否正确需要的复杂度却是P。比如判断一堆整数里面有没有几个整数的和刚好为0。验证某个可能答案太简单了：对答案里的数求和就行，花的时间最多等于这堆整数的个数。于是有达人就想：这样好办啊。如果一个问题的备选答案有N个，那我们就养它N只鸡，让每只鸡验证一个答案。如果每个答案的验证复杂度都是P，那最终的复杂度不也是P了么？可惜，得到验证结果前我们不知道哪个候选答案一定正确，也不能确定哪只鸡先得到答案，就好像不知道哪个女工先找到旺卡巧克力工厂的金券。为了和普通的图灵鸡区分，闲人们把这种兵团做战的鸡群叫做non-deterministic图灵鸡 。因为用这种图灵鸡能在多项式时间内找到答案，所以我们把这种复杂度叫NP，也就是Non-deterministic Polynomial的简写。还是很直观的吧？很明显，P是属于NP的，因为既然我们能在P内找到答案，自然能在P内验证答案。那有没有属于NP但不属于P的呢？俺就不知道了。如果我知道的话，我就证明了P=NP或P != NP，拿了Cray研究院的100万美元花红，到Bora Bora的海滩悠哉游哉地喝Pina Colada乐。 

不能证明P是否等于NP没有打击闲人们的积极性。不知道是否等于总比知道不等于好吧？所以牛人们还是前赴后继地探索。于是NP-Hard就被提出来乐。NP-hard的概念也直观：我不知道你具体有多复杂，但我知道你至少和NP问题一样复杂。什么叫一样复杂呢？于是有牛人提出，反正多项式加上多项式还是多项式。所以可以判断，如果我们已知一个问题H的算法并且每一个属于NP的问题都可以在多项式时间内通过把玩H得出，那H就是NP-hard。也就是说，如果存在一个函数（或者算法）f, 使得f(H)＝所有NP问题的集合，且计算f(H)的开销是P，那H就是NP-hard的。当然，我们还是可以让一只图灵鸡来执行这个函数，所以有函数f存在被称为图灵多项式可归约（polynomial time Turing reducible）如果H同时也属于NP，那H就是NP-Complete乐。我们可以相对容易地证明，如果有一个问题，哪怕只有一个问题，既属于NP也属于P，那整个P和NP就坍塌了，P＝NP。有兴趣的老大可以自己证明一下。到了这里，关于复杂性的研究好像被堵死了。确定一个问题是否为NP-Hard，就得证明它能被多项式归约到所有NP问题。简直就是mission impossible嘛。就在这存亡之际，出身水牛城安家多伦多的库克爷爷小宇宙爆发，于1971年证明了SAT问题（也就是判断什么样的集合能让一个布尔公式为1）属于NP-Complete。一时间众生颠倒。有了SAT垫底，我们就不用去对付所有的NP问题，而只需要对付规约到SAT这一相对简单得多的问题。到目前为止，属于NP-Complete的问题没有1000也有500了吧？人们还相继发现了其它复杂类。这里罗列了几乎所有的复杂类，共有462种。

看到这里还没有睡着的老大，可以去读这本书。以前翻过前面两章，写得挺清楚。刘未鹏老师的博客也是很好的去处。这篇文章和这篇文章严谨深入得多。