Floyd-Warshall算法：求结点对的最短路径问题

Floyd-Warshall算法：是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

原理：

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划（DP）。

设D_{i,j,k}为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

1. 若最短路径经过点k，则D_{i,j,k}=D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1};
2. 若最短路径不经过点k，则D_{i,j,k}=D_{i,j,k-1}。

因此，D_{i,j,k}=min{D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1},D_{i,j,k-1}}。

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。

三维：

void floyd_dp(){     int i,j,k;     for(i=1;i<=n;i++)         for(j=1;j<=n;j++)             dist[i][j][0]=map[i][j];     for(k=1;k<=n;k++)         for(i=1;i<=n;i++)             for(j=1;j<=n;j++){                 dist[i][j][k]=dist[i][j][k-1];                 if(dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1]<dist[i][j][k])                     dist[i][j][k]=dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1];            } }

二维：

public static void floyd(){  int i,j,k;      for(k=1;k<=n;k++){          for(i=1;i<=n;i++){             for(j=1;j<=n;j++){             if (i!=j && map[i][k]!=INF && map[k][j]!=INF && map[i][k] + map[k][j] < map[i][j]) {                map[i][j] = map[i][k] + map[k][j];                        }                 }          }      }}