Edit Distance

来源：互联网发布：MySQL完美封装函数编辑：程序博客网时间：2024/04/26 18:02

题目：Edit Distance

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Definition of Minimum Edit Distance

Edit Distance 用于衡量两个strings之间的相似性。

两个strings之间的 Minimum edit distance 是指把其中一个string通过编辑（包括插入，删除，替换操作）转换为另一个string的最小操作数。

如上图所示，d（deletion）代表删除操作，s（substitution）代表替换操作，i（insertion）代表插入操作。（为了简单起见，后面的Edit Distance 简写为ED）

如果每种操作的cost（成本）为1，那么ED = 5.

如果s操作的cost为2（即所谓的Levenshtein Distance），ED = 8.

那么如何找到两个strings的minimun edit distance呢？

要知道把一个string转换为另一个string可以有很多种方法（或者说“路径“）。我们所知道起始状态（第一个string）、终止状态（另一个string）、基本操作（插入、删除、替换），要求的是最短路径。

对于如下两个strings：

X的长度为n ， Y的长度为m

我们定义D（i，j）为 X 的前i个字符 X[1...i] 与 Y 的前j个字符 Y[1...j] 之间的距离，其中0<i<n, 0<j<m，因此X与Y的距离可以用D(n,m)来表示。

假如我们想要计算最终的D(n,m)，那么可以从头开始，先计算D(i, j) （i和j从1开始）的值，然后基于前面的结果计算更大的D(i, j)，直到最终求得D(n,m)。

算法过程如下图所示：

上图中使用的是”Levenshtein Distance“即替换的成本为2.

请读者深入理解一下上图中的循环体部分： D(i,j)可能的取值为:

1. D(i-1, j) +1 ；

2. D(i, j-1) +1 ；

3. D(i-1, j-1) + 2 (当X新增加的字符和Y新增加的字符不同时，需要替换）或者 + 0（即两个字符串新增加的字符相同）

思路：How to calculate the minimum edit distance

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How to calculate the minimum edit distance

Now, we take another example

target : s t o p

source: s o t

u can insert "t", which will cost 1, to get "stot", then u can substitute "p" for "t", which will cost 2, to get "stop".

Besides, u can substitue "t" for "o" to get "stt", then u can substitute "o" for "t" to get "sto", last, u can insert "p" to get "stop"

Alright, u can have plenty of method to edit to get the target, so how to get the minimum edit distance. We will introduce the algorithm as following, which is dynamic programming.

i : the length of the target

j : the length of the source

D(0, 0) = 0

D(i, 0) = insertCost * i, means the length of the target is i and the length of the source is 0, so u should insert i characters

D(0, j) = deleteCost * j, means the length of the target is 0 and the length of the source is j, so u should delete j characters

D(i, j) = min {D(i - 1, j) + insertCost(target[i]);

D(i - 1, j - 1) + substituteCost(source[j], target[i]);

D(i, j - 1) + deleteCost(source[j])} means u should choose the method which will cost least.substituteCost = {0, 2}, if source[j] is equal to target[i], it's 0, or it's 2.

insertCost = 1

deleteCost = 1

Well, maybe u will feel confuse, but no problem, We will use the algorithm to solve the above question.

firstly, u can gain the belew form.

D(1, 1) = min {D[0, 1] + insert(t[1]) = 2;

D[0, 0] + substitute(s[1], t[1]) = 0;

　　　　　　　　D[1, 0] + delete(s[1]) = 2} = 0

D[1, 2] = min{ D[0, 2] + insert(t[1]) = 3;

　　　　　　　　D[0, 1] + substitute(s[2], t[1]) = 3;

　　　　　　　　D[1, 1] + delete(s[2] = 1)} = 1

................

then u will get the last number

D[4, 3] = min {D[3, 2] + insert(t[4]) = 3;

　　　　　　　　D[3, 2] + substitute(s[3], t[4]) = 3;

　　　　　　　　D[4, 2] + delete(s[3]) = 3} = 3

Actually, u can get the path how to get edit through every step. The below picture show the results.

动态规划实现 DP

class Solution {public:    int minDistance(string word1, string word2) {        // Start typing your C/C++ solution below        // DO NOT write int main() function        int dist[word1.size()+1][word2.size()+1];        for(int i=0;i<=word1.size();i++)            dist[i][0]=i;        for(int j=0;j<=word2.size();j++)            dist[0][j]=j;        for(int i=1;i<=word1.size();i++)        {            for(int j=1;j<=word2.size();j++)            {                if(word1[i-1]==word2[j-1])                    dist[i][j]=dist[i-1][j-1];                else                {                    int tmp=min(dist[i-1][j],dist[i][j-1]);                    dist[i][j]=1+min(dist[i-1][j-1],tmp);                }            }        }        return dist[word1.size()][word2.size()];              }};

参考链接：

（1）自然语言处理处理学习篇02--Edit Distance

（2）Edit Distance