图的割点、桥与双连通分支
来源：互联网 发布：安知玉如意txt无删减 编辑：程序博客网 时间：2024/05/14 01:29
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[求割点与桥]
该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。根据定义，则有：
Low(u)=Min { DFS(u) DFS(v) (u,v)为后向边(返祖边) 等价于 DFS(v)<DFS(u)且v不为u的父亲节点 Low(v) (u,v)为树枝边(父子边) }
一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2) (1) u为树根，且u有多于一个子树。 (2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFS(u)<=Low(v)。
一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFS(u)<Low(v)。
[求双连通分支]
下面要分开讨论点双连通分支与边双连通分支的求法。
对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。
对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。
[构造双连通图]
一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。
统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。
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http://poj.org/problem?id=2186
#include <cstdio> #include <deque> #include <queue> #include <set> #include <string> #include <map> #include <vector> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long LL; const int maxn = 10010;template<class T> void fout(T a){ cout << a << endl;}int n,m;int pre[maxn]; int low[maxn];int cnt;int scnt;//bool visited[maxn];int id[maxn];int out[maxn];vector<int> e[maxn];vector<int> scce[maxn];int stack[maxn],top;/*heishuzhidaoshu p377*/void Tarjan(int u){ int w; int imin = low[u] = pre[u] = cnt ++; stack[++top] = u; for(int i=0;i<e[u].size();i++){ w = e[u][i]; if(pre[w] == -1)Tarjan(w); if(low[w] < imin)imin = low[w]; } if(imin < low[u]){ low[u] = imin; return ; } do { w = stack[top--]; scce[scnt].push_back(w); id[w] = scnt; low[w] = n; }while(w!=u); scnt ++;}void solve(){ //memset(visited,false,sizeof(visited)); memset(pre,-1,sizeof(pre)); memset(low,-1,sizeof(low)); memset(out,0,sizeof(out)); cnt = 0; top = 0; scnt = 0; for(int i=0;i<n;i++){ if(pre[i] == -1){ //cout << i << endl; Tarjan(i); } } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<e[i].size();j++){ //out[id[e[i][j]]] ++; if(id[i] != id[e[i][j]]){ out[id[i]] ++; } } } int c = 0; int ans; for(int i=0;i<scnt;i++){ if(out[i] == 0){ c ++; if(c == 1){ ans = scce[i].size(); } } } if(c == 1){ printf("%d\n",ans); } else printf("0\n");}void initGraph(){ while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1){ for(int i=0;i<n;i++){ e[i].clear(); scce[i].clear(); } for(int i=0;i<m;i++){ int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); a --,b --; e[a].push_back(b); } solve(); }}int main(){ initGraph(); //solve(); return 0;}poj2553——The Bottom of a Graph
强连通分量，缩点，求出度为0的点。
#include <cstdio> #include <deque> #include <queue> #include <set> #include <string> #include <map> #include <vector> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long LL; const int maxn = 10010;template<class T> void fout(T a){ cout << a << endl;}int n,m;int pre[maxn]; int low[maxn];int cnt;int scnt;//bool visited[maxn];int id[maxn];int out[maxn];vector<int> e[maxn];vector<int> scce[maxn];int stack[maxn],top;/*heishuzhidaoshu p377*/void Tarjan(int u){ int w; int imin = low[u] = pre[u] = cnt ++; stack[++top] = u; for(int i=0;i<e[u].size();i++){ w = e[u][i]; if(pre[w] == -1)Tarjan(w); if(low[w] < imin)imin = low[w]; } if(imin < low[u]){ low[u] = imin; return ; } do { w = stack[top--]; scce[scnt].push_back(w); id[w] = scnt; low[w] = n; }while(w!=u); scnt ++;}void solve(){ //memset(visited,false,sizeof(visited)); memset(pre,-1,sizeof(pre)); memset(low,-1,sizeof(low)); memset(out,0,sizeof(out)); cnt = 0; top = 0; scnt = 0; for(int i=0;i<n;i++){ if(pre[i] == -1){ //cout << i << endl; Tarjan(i); } } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<e[i].size();j++){ //out[id[e[i][j]]] ++; if(id[i] != id[e[i][j]]){ out[id[i]] ++; } } } int c = 0; //int ans=0; for(int i=0;i<n;i++){ if(out[id[i]] == 0){ printf("%d ",i+1); //ans += scce[i].size(); } } printf("\n");}void initGraph(){ while(scanf("%d",&n),n){ scanf("%d",&m); for(int i=0;i<n;i++){ e[i].clear(); scce[i].clear(); } for(int i=0;i<m;i++){ int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); a --,b --; e[a].push_back(b); } solve(); }}int main(){ initGraph(); //solve(); return 0;}http://poj.org/problem?id=1236
有向图
DAG，加边成为强连通分量
假设n为出度为0的点的个数，m为入度为0的点的个数，加的边数为max(n , m)
怎么加呢, 先假设每个连通分量都有一个入度为0的点，一个出度为0的点，那么我们就首尾将它们连起来，形成一个环，这个环就保证了是强连通分量，然后其余的点随便连到一个点就可以了
attention！ 只有1个连通分量特别考虑。
#include <cstdio> #include <deque> #include <queue> #include <set> #include <string> #include <map> #include <vector> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long LL; const int maxn = 10010;template<class T> void fout(T a){ cout << a << endl;}int n,m;int pre[maxn]; int low[maxn];int cnt;int scnt;//bool visited[maxn];int id[maxn];int out[maxn];int in[maxn];vector<int> e[maxn];vector<int> scce[maxn];int stack[maxn],top;/*heishuzhidaoshu p377*/void Tarjan(int u){ int w; int imin = low[u] = pre[u] = cnt ++; stack[++top] = u; for(int i=0;i<e[u].size();i++){ w = e[u][i]; if(pre[w] == -1)Tarjan(w); if(low[w] < imin)imin = low[w]; } if(imin < low[u]){ low[u] = imin; return ; } do { w = stack[top--]; scce[scnt].push_back(w); id[w] = scnt; low[w] = n; }while(w!=u); scnt ++;}void solve(){ //memset(visited,false,sizeof(visited)); memset(pre,-1,sizeof(pre)); memset(low,-1,sizeof(low)); memset(out,0,sizeof(out)); memset(in,0,sizeof(in)); cnt = 0; top = 0; scnt = 0; for(int i=0;i<n;i++){ if(pre[i] == -1){ //cout << i << endl; Tarjan(i); } } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<e[i].size();j++){ //out[id[e[i][j]]] ++; if(id[i] != id[e[i][j]]){ out[id[i]] ++; in[id[e[i][j]]] ++; } } } int outc = 0; int inc = 0; //int ans=0; for(int i=0;i<scnt;i++){ if(out[i] == 0){ outc ++; //printf("%d ",i+1); //ans += scce[i].size(); } if(in[i] == 0){ inc ++; } } if(scnt == 1)printf("1\n0\n"); else printf("%d\n%d\n",inc,max(outc,inc));}void initGraph(){ while(scanf("%d",&n)!=-1){ for(int i=0;i<n;i++){ e[i].clear(); scce[i].clear(); int t; while(scanf("%d",&t),t){ e[i].push_back(t-1); } } /* for(int i=0;i<m;i++){ int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); a --,b --; e[a].push_back(b); } */ solve(); }}int main(){ initGraph(); //solve(); return 0;}poj 3352
最简单的代码
#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;int map[5001][5001], low[5001], pre[5001], state[5001], cnt = 1;int f, r;void dfs(int u, int v) { pre[u] = cnt; low[u] = cnt; ++ cnt; for (int i = 1; i <= f; ++ i) { if (i != v && map[u][i]) { if (!pre[i]) { dfs(i, u); } if (low[u] > low[i]) { low[u] = low[i]; } } }}int main() { cin >> f >> r; for (int i = 0; i < r; ++ i) { int a, b; cin >> a >> b; map[a][b] = 1; map[b][a] = 1; } dfs(1, 1); for (int i = 1; i <= f; ++ i) { for (int j = 1; j <= f; ++ j) { if (map[i][j] && low[i] != low[j]) { ++ state[low[i]]; } } } int count = 0; for (int i = 1; i <= f; ++ i) { //cout << low[i] << " "; if (state[i] == 1) { ++ count; } } //cout << endl; cout << (count + 1) / 2 << endl; return 0;}感觉这个比较好，先收藏起来
#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#define N 5005#define M 20005using namespace std;int to[M], nx[M], ghead[N];int gcnt;void addedge(int l, int r){ to[gcnt] = r; nx[gcnt] = ghead[l]; ghead[l] = gcnt++;}int dfn[N], low[N], sta[N], Blo[N];bool instack[N], vis[N], isBridge[M];int bridge, block, mark, now;void tarjan(int u, int fa){ int iter, v; dfn[u] = low[u] = ++mark; instack[sta[++now]=u] = vis[u] = 1; for(iter=ghead[u];iter!=-1;iter=nx[iter]){ if((v=to[iter])==fa) continue; if(!vis[v]){ tarjan(v,u); low[u] = min(low[u],low[v]); if(low[v]>low[u]) {bridge++,isBridge[iter]=true,isBridge[iter^1]=true;} } else if(instack[v]) low[u] = min(low[u], low[v]); } if(low[u]==dfn[u] && ++block) do Blo[v=sta[now--]]=block,instack[v]=0; while(v!=u);}int vol[N];void solve(int n){ block = 0, mark = 0, bridge = 0, now = 0; tarjan(1,0); int tot = 0, i, iter; for(i=1;i<=n;i++){ for(iter=ghead[i];iter!=-1;iter=nx[iter]){ if(isBridge[iter])vol[Blo[i]]++; } } for(i=1;i<=block;i++) if(vol[i]==1) tot++; printf("%d\n",(tot+1)/2);}int main(){ int n, m, l, r; gcnt = 0; memset(ghead,-1,sizeof(ghead)); scanf("%d%d",&n,&m); while(m--){ scanf("%d%d",&l,&r); addedge(l,r); addedge(r,l); } solve(n); return 0;}模板？！
#define M 5010 //题目中可能的最大点数 int STACK[M],top=0; //Tarjan 算法中的栈 bool InStack[M]; //检查是否在栈中 int DFN[M]; //深度优先搜索访问次序 int Low[M]; //能追溯到的最早的次序 int ComponentNumber=0; //有向图强连通分量个数 int Index=0; //索引号 vector <int> Edge[M]; //邻接表表示 vector <int> Component[M]; //获得强连通分量结果int InComponent[M]; //记录每个点在第几号强连通分量里int ComponentDegree[M]; //记录每个强连通分量的度void Tarjan(int i) { int j; DFN[i]=Low[i]=Index++; InStack[i]=true; STACK[++top]=i; for (int e=0;e<Edge[i].size();e++) { j=Edge[i][e]; if (DFN[j]==-1) { Tarjan(j); Low[i]=min(Low[i],Low[j]); } else if (InStack[j]) Low[i]=min(Low[i],DFN[j]); } if (DFN[i]==Low[i]) { ComponentNumber++; do { j=STACK[top--]; InStack[j]=false; Component[ComponentNumber].push_back(j); InComponent[j]=ComponentNumber; } while (j!=i); } } void solve(int N) //N是此图中点的个数，注意是0-indexed！ { memset(STACK,-1,sizeof(STACK)); memset(InStack,0,sizeof(InStack)); memset(DFN,-1,sizeof(DFN)); memset(Low,-1,sizeof(Low)); for(int i=0;i<N;i++) if(DFN[i]==-1) Tarjan(i); }明天重新整理下....
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