弦图判定及最小染色数 弦图：所有长度大于3的环均有弦的图叫弦

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弦图：所有长度大于3的环均有弦的图叫弦图。
完美消除序列：一个序列{v1,v2,…,vn}，满足{vi+1,vi+2,…,vn}中与vi相邻的点的诱导子图为完全图。

弦图的判定（ZOJ 1015）可以采用MCS算法：
基于定理：一个图无向图是弦图当且仅当它有完美消除序列。
首先找出消除序列：
0.i=n
1.找到一个u∈{j|label[j]=max{label[k]}(k为未标号点)},order[u]=i
2.--i,所有与u相邻的v且++label[v],回到1
也就是说，每次找现有未标号的点中，与已标号的点相邻最多的那个，标号。
然后判断该序列是否是完美消除序列：
对于每一个vi，找到{vi+1,vi+2,…,vn}中与vi相邻的标号最小的点vj，判断其它{vi+1,vi+2,…,vn}中与vi相邻的点是否与vj相邻，若不相邻则不是完美消除序列。

最小染色数（HNOI2008 神奇的国度）可以这样做：
在完美消除序列基础上，从最大标号开始，贪心地染色，最后用了几种颜色即为答案。

只是我想不通为什么CDQ那份PPT里说MCS和染色的复杂度是O(n+m)，我只会写O(n^2+m)的…

zoj1015,joj1036 弦图的判定  

2012-04-11 11:21:08|  分类： 数据结构——图论|字号 订阅

弦图：所有长度大于3的环均有弦的图叫弦图。
完美消除序列：一个序列{v1,v2,…,vn}，满足{vi+1,vi+2,…,vn}中与vi相邻的点的诱导子图为完全图。

弦图的判定（ZOJ 1015）可以采用MCS算法：
基于定理：一个图无向图是弦图当且仅当它有完美消除序列。

首先找出消除序列：
0.i=n
1.找到一个u∈{j|label[j]=max{label[k]}(k为未标号点)},order[u]=i
2.--i,所有与u相邻的v且++label[v],回到1
也就是说，每次找现有未标号的点中，与已标号的点相邻最多的那个，标号。
然后判断该序列是否是完美消除序列：
对于每一个vi，找到{vi+1,vi+2,…,vn}中与vi相邻的标号最小的点vj，判断其它{vi+1,vi+2,…,vn}中与vi相邻的点是否与vj相邻，若不相邻则不是完美消除序列。

实例：无向图G=(V, E)，V为图的所有顶点集合（非空），E为图的所有边的集合。

　　【子图（subgraph）和生成子图（spanning subgraph）】

　　G'=(V', E')，V'被包含于V，E'被包含于E，G'为G的子图。

        另外对于子图有一个生成子图的概念，而者的区别在于：在子图中，E'<=E且V'<=V；在生成子图中，E'<=E,且V'=V。

 

　　【诱导子图（induced subgraph）】

　　G'=(V', E')，V'被包含于V，E'={(u, v)|u, v属于V'，(u, v)属于E}，G'为G的诱导子图。

        注意：对于V'，只要在G中有边，那么在G'中同样应该有边。

 

　　【团（clique）】

　　G'为关于V'的完全图。

　　一个团为极大团（maximal clique）当且仅当它不是其它团的子图。

　　一个图为最大团（maximum clique）当且仅当它的点集模最大。

　　一个图的团数表示为ω(G)。

 

　　【最小染色（minimum coloring）】

　　用最小的颜色给点染色使相邻点颜色不同。此时的颜色数称色数。

　　一个图的色数表示为χ(G)。

 

　　【最大独立集（maximum independent set）】

　　最大的一个点子集使任何两个点不相邻。记为α(G)。

 

　　【最小团覆盖（minimum clique cover）】

　　用最少个数的团覆盖所有的点。记为κ(G)。

 

　　【弦（chord）】

　　连接环中不相邻的两个点的边。

 

　　【弦图（chordal graph）】

　　一个无向图称为弦图当图中任意长度大于3的环都至少有一个弦。

 

　　【单纯点（simplicial vertex）】

　　设N(v)表示与点v相邻的点集。一个点称为单纯点当{v}+N(v)的诱导子图为一个团。

　　[定理]

　　任何一个弦图都至少有一个单纯点，不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点。

 

　　【完美消除序列（perfect elimination ordering）】

　　一个点的序列（每个点出现且恰好出现一次）v[1], v[2], ..., v[n]满足v[i]在{v[i], v[i+1], ..., v[n]}的诱导子图中为一个单纯点。

 

弦图判断

分类： 图论2008-04-04 19:41 349人阅读 评论(0) 收藏 举报

graph算法c

定义： 
无向图中，如果任意边数大于3的环，至少存在一条边连接环中不相邻的某两 
个点，则称此图为弦图（Chordal Graph）。 

zoj1015的题目： 
判断无向图是否为弦图，是则输出Perfect，否则输出Imperfect。 

以下是时间复杂度为O(n+m)的算法，n是图的点数，m是图的边数。 
第一步：给节点编号 
设已编号的节点集合为A，未编号的节点集合为B 
开始时A为空，B包含所有节点。 
for num=n-1 downto 0 do 
{ 
在B中找节点x，使与x相邻的在A集合中的节点数最多，将x编号为num， 
并从B移入A 
} 
第二步：检查 
for num=0 to n-1 do 
{ 
对编号为num的节点x，设所有编号大于num且与x相邻的节点集合为C， 
在集合C中找出编号最小的节点y，如果集合C中存在不等于y的节点z， 
且y与z间没有边，则此图不是弦图，退出。 
} 
检查完了，则此图是弦图。