2013 多校训练 hdu 4602 Partition 解题报告

2013 多校训练   hdu  4602    Partition   解题报告  

Partition

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Problem Description

Define f(n) as the number of ways to perform n in format of the sum of some positive integers. For instance, when n=4, we have
  4=1+1+1+1
  4=1+1+2
  4=1+2+1
  4=2+1+1
  4=1+3
  4=2+2
  4=3+1
  4=4
totally 8 ways. Actually, we will have f(n)=2^(n-1) after observations.
Given a pair of integers n and k, your task is to figure out how many times that the integer k occurs in such 2^(n-1) ways. In the example above, number 1 occurs for 12 times, while number 4 only occurs once.

 

Input

The first line contains a single integer T(1≤T≤10000), indicating the number of test cases.
Each test case contains two integers n and k(1≤n,k≤10⁹).

 

Output

Output the required answer modulo 10⁹+7 for each test case, one per line.

 

Sample Input

24 25 5

 

Sample Output

51

 

Source

2013 Multi-University Training Contest 1

 

Recommend

liuyiding

 

已知f(n)=2^(n-1)  给出k看f(n)里面 k能出现多少次！

没啥好办法，一点点写出来找规律啊！

cnt[i]表示i出现的次数！

f(1)=1   

  cnt[1]=1;

 f(2)=2

  cnt[2]=1,cnt[1]=2

f(3)=4

  cnt[3]=5,cnt[2]=2],cnt[1]=1;

f(4)=8

  cnt[4]=12,cnt[3]=5,cnt[2]=2,cnt[1]=1;

此意次类推，注意cnt的变化分别是1,2,5,12,28,64,144……  

怎么推出来的呢？ 有神马规律呢？！   不列出几个数来观察是很难找到规律的，TND不自己拿笔写写我自己也推不出这几个数字！

然后对这几个数字我疯狂的研究……

终于：

发现，cnt[n]=2*cnt[n-1]+2^(n-3);

推到这一步我当时就相当兴奋呐，想到先init()，然后就……

可是数据太大了，数组开不了，根本没法存啊！

怎么办呢？对于每个数，每次重新递推一边就好了，但是从头递推一遍貌似这个复杂度也蛮高的，怎么办呢，继续化简……   最后得出一个cnt[n]和cnt[3]的关系来……   直接利用一次快速幂就ＯＫ了！！

cnt[n]=(n+2)*2^(n-3)

注意n>3

这里的n和题中所给的n,k什么关系呢？！   在f(n)中n是倒数第1个，n-1是倒数第2个，k是倒数第（n-k+1）个，即cnt[n']=cnt[n-k+1]

当然，这个题还有个坑，就是n有可能比k小……  这时输出0！

贴代码：

#include<cstdio>#include <iostream>#include <fstream>#include <cstring>using namespace std;const int MOD=1000000007;int n,k,t;long long pow(long long x,long long p){    ///返回x的p次方    long long ans=1;    while(p>1)    {        if(p%2)ans=(ans*x)%MOD;///处理奇数        x=(x*x)%MOD;        p/=2;    }    ans=(ans*x)%MOD;    return ans;}int a[5];int main(){//    int b;//    while(cin>>b)//    {//        cout<<pow(2,b)<<endl;//    }    cin>>t;    while(t--)    {        a[1]=1;        a[2]=2;        a[3]=5;        scanf("%d%d",&n,&k);        int ord=n-k+1;        if(ord<=0)printf("%d\n",0);///注意题目没有说n比k小        else if(ord<=3)printf("%d\n",a[ord]);        else        {            long long ans=(ord+2)%MOD;            ans=ans*pow(2,ord-3)%MOD;            printf("%d\n",ans);        }    }    return 0;}

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