傅立叶变换及应用2－傅立叶变换

第五课：

傅立叶变换是研究非周期信号的。傅立叶变换可以看成在周期T趋向无穷大的傅立叶级数。

我们之前讨论都是周期等于1的信号，得到了分析公式（求解Ck）和合成公式（f（t）表示为exp(2πikt)的和）。

OK，现在推广到周期为T的情况，这时候分析使用的building block变成：

exp(2πikt/T)

这样f(t) = 对于k＝－∞～∞上求和（  Ck  exp（2π i（k/T）t）   ）

类似周期为1时候的处理，傅立叶系数可以通过下面的分析公式求解：

Ck ＝ （1/T）（在－T/2～T/2上求积分（ exp（－2π i（k/T）t） f（t） ））

对于周期等于1的的傅立叶级数，其谱线的间隔也是1.
对于周期小于1的的傅立叶级数，其谱线的间隔1/T是大于1的，谱线的间距变宽.
对于周期大于1的的傅立叶级数，其谱线的间隔1/T是小于1的，谱线的间距变近. 当周期继续变大，谱线变得越来越近，当T趋向无穷的时候，频谱变得连续了。当然，这并不是傅立叶变换，我们还需要简单处理一下，因为当T趋向无穷的时候，这时候Ck趋向0。

我们把傅立叶系统公式和傅立叶级数公式修改如下：

Ck ＝ （在－T/2～T/2上求积分（ exp（－2π i（k/T）t） f（t） ））

f(t) = 对于k＝－∞～∞上求和（  Ck  exp（2π i（k/T）t）   ）（1/T）

上面的修改实际上类似给Ck乘了T，从而避免了Ck在当T趋向无穷的时候趋向于0

当T趋向无穷的时候，离散变量k/T变成连续变量，我们用s表示，1/T变成ds，求和也会变成积分，这样上面的公式变成：

f（s） ＝ 对t在－∞～∞求积分（ exp（－2π ist） f（t） ）

f（t） ＝ 对s在－∞～∞求积分（ f（s） exp（2π ist）  ）

第六～八课

这些课程描述了傅立叶变换的性质，没有什么特别的，不过解决了我心中的一个疑问，那就是卷积的定义。

在信号处理中，我们希望可以知道频域信号相乘在时域的表现是什么，这样利用反推的方法，发现了如果按照反推的过程定义了卷积，那么就容易得到时域的卷积就是频率的相乘。