八皇后问题

1、介绍

先上张图来说明用回溯法解八皇后问题的每一步：

       

2、程序

对着严蔚敏的书写的，写好后运行竟然一次性成功了，没有任何bug，我鸡冻了。

上代码：

 

//N皇后问题#include <iostream>using namespace std;#define N 8bool matrix[N + 1][N + 1] = {0};bool IsLegal(bool matrix[N + 1][N + 1], const int &i, const int &j){//判断前面的i-1个棋子与matrix[i][j]是否冲突，i为1时合法for (int m = 1; m <= i - 1; ++m) {for (int n = 1; n <= N; ++n) {//实际每一行只有一个棋子if (matrix[m][n] == 1) {if ( n == j || abs(i - m) == abs(j - n) )//key, not badreturn false;}}}return true;}void Print(bool matrix[N + 1][N + 1]){static int count = 1;printf("Case %d:\n", count++);for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 1; j <= N; j++) {matrix[i][j] == 1 ? printf("%c ", 2) : printf(". ");}cout << endl;}cout << endl;}void Trial(const int i){//进入本函数时，在N*N的棋盘前i-1行已放置了互不攻击的i-1个棋子//现从第i行起继续为后续棋子选择合适位置if (i > N)//输出当前的合法布局Print(matrix);elsefor (int j = 1; j <= N; ++j) {matrix[i][j] = 1;if ( IsLegal(matrix, i, j) )Trial(i + 1);matrix[i][j] = 0;}}int main(void){Trial(1);return 0;}

运行结果：

3、数学问题

关于n皇后的解的个数（8皇后是92个解）：

na(n)1120304251064740892935210724112680121420013737121436559615227918416147725121795815104186660906241949680578482039029188884213146662227122226910087016442324233937684440242275141719737362522078934358083522622317699616364044

 

独立解的问题我就不多提了。目前这个数列还没找到通项公式。有意思的是，高斯算八皇后的解的个数时，他算错了，他的答案是76种，不知道他漏了哪种，呵呵。（不过也是4的倍数）

//N皇后问题#include <iostream>using namespace std;#define N 8int matrix[N + 1][N + 1] = {0};//matrix[0][j]为空，matrix[i][0]中放第i行的皇后的列坐标（从1开始记）bool IsLegal(const int &i, const int &j){//判断前面的i-1个棋子（坐标是matrix[m][n]）与matrix[i][j]是否冲突，i为1时合法for (int m = 1; m <= i - 1; ++m) {int n = matrix[m][0];if (  n == j || abs(i - m) == abs(j - n) )return false;}return true;}void Print(void){static int count = 1;printf("Case %d:\n", count++);for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 1; j <= N; j++) {matrix[i][j] == 1 ? printf("%c ", 2) : printf(". ");}cout << endl;}cout << endl;}void Trial(const int &i){//进入本函数时，在N*N的棋盘前i-1行已放置了互不攻击的i-1个棋子//现从第i行起继续为后续棋子选择合适位置if (i > N)//输出当前的合法布局Print();elsefor (int j = 1; j <= N; ++j) {matrix[i][j] = 1;if ( IsLegal(i, j) ) {matrix[i][0] = j;Trial(i + 1);}matrix[i][j] = 0;}}int main(void){Trial(1);return 0;}

4、想法

那个Trial递归函数我还没弄明白，对着书抄的，要是自己想，难。还有待研究推广。

2012/5/8 更新

把判断是否合法的IsLegal函数优化了，原来的程序是O(N^3)，现在是 O(N^2)：

//N皇后问题#include <iostream>using namespace std;#define N 8int matrix[N + 1][N + 1] = {0};//matrix[0][j]为空，matrix[i][0]中放第i行的皇后的列坐标（从1开始记）bool IsLegal(const int &i, const int &j){//判断前面的i-1个棋子（坐标是matrix[m][n]）与matrix[i][j]是否冲突，i为1时合法for (int m = 1; m <= i - 1; ++m) {int n = matrix[m][0];if (  n == j || abs(i - m) == abs(j - n) )return false;}return true;}void Print(void){static int count = 1;printf("Case %d:\n", count++);for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 1; j <= N; j++) {matrix[i][j] == 1 ? printf("%c ", 2) : printf(". ");}cout << endl;}cout << endl;}void Trial(const int &i){//进入本函数时，在N*N的棋盘前i-1行已放置了互不攻击的i-1个棋子//现从第i行起继续为后续棋子选择合适位置if (i > N)//输出当前的合法布局Print();elsefor (int j = 1; j <= N; ++j) {matrix[i][j] = 1;if ( IsLegal(i, j) ) {matrix[i][0] = j;Trial(i + 1);}matrix[i][j] = 0;}}int main(void){Trial(1);return 0;}