背包九讲学习--基础背包

第一讲 01背包

题目

 有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

          算法复杂度：O(VN) 

  PRO   zero one pack :  

   for i=1..N      for v=V..c[i]        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

第二讲 完全背包

  题目

  有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

     算法复杂度：O(VN) 

这个算法使用一维数组，先看伪代码：

  PRO CompletePack(cost weight)

  for i=1..N     for v=cost..V        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

    完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-    c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

第三讲 多重背包

    题目

    有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

      算法复杂度：O(V*Σlog n[i])

将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。
下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)    if cost*amount>=V        CompletePack(cost,weight)        return    integer k=1    while k<amount        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)        amount=amount-k        k=k*2    ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

希望你仔细体会这个伪代码，如果不太理解的话，不妨翻译成程序代码以后，单步执行几次，或者头脑加纸笔模拟一下，也许就会慢慢理解了。

#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cstdio>using namespace std;struct S{  int value[5];  int cost[5];  int amount[5];}p;int dp[10],V;void CompletePack(int i){    for(int v=p.cost[i];v<=V;v++)        dp[v]=max(dp[v],dp[v-p.cost[i]]+p.value[i]);}void ZeroOnePack(int cost,int value){    for(int v=V;v>=cost;v--)        dp[v]=max(dp[v],dp[v-cost]+value);}void MultiplePack(int i){   //1.当做完全背包处理    if(p.cost[i]*p.amount[i]>=V)    {        CompletePack(i);        return ;    }    int k=1;    while(k<p.amount[i])    {        ZeroOnePack(k*p.cost[i],k*p.value[i]);        p.amount[i]=p.amount[i]-k;        k=k*2;    }    ZeroOnePack(p.amount[i]*p.cost[i],p.amount[i]*p.value[i]);}void show();int main(){    int n,i,j;    //n 种物品，背包体积为V    scanf("%d%d",&n,&V);    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(i=0;i<n;i++)        scanf("%d",&p.amount[i]);    for(i=0;i<n;i++)        scanf("%d",&p.cost[i]);    for(i=0;i<n;i++)        scanf("%d",&p.value[i]);    //多重背包,每次处理一件物品    for(i=0;i<n;i++)      MultiplePack(i);    show();    printf("\n最大的价值量为:%d\n",dp[V]);   return 0;}void show(){    for(int i=0;i<=V;i++)       printf("%d ",i);        printf("\n");    for(int i=0;i<=V;i++)        printf("%d ",dp[i]);} /*    #ifdef fin     freopen("in.txt","r",stdin);     freopen("out1.txt","w",stdout);    #endif*//**4 71 2 3 44 3 2 1*/

第五讲: 二维费用的背包问题

      题目

        二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

      算法复杂度：O(N*UV)

     费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：

     f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}

如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了，相信有了前面的基础，你能够自己实现出这个问题的程序。

       下面实现了一个01二维费用背包的例子：

  

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <cstring>using namespace std;#define M 102struct shop{//每件物品的花费1,2和价值   int cost[M],cost2[M];   int value[M];   int u,v;}p;//一维表示u，二维vint dp[102][1002],n;int ZeroOne_two_Dimensional_Pack(){    int i,j,k;    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(i=0;i<n;i++)//n件物品     for(j=p.u;j>=p.cost[i];j--)       for(k=p.v;k>=p.cost2[i];k--)       {           dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-p.cost[i]][k-p.cost2[i]]+p.value[i]);       }    return dp[p.u][p.v];}void show(){    int i,j;    for(i=1;i<=p.u;i++)    {    for(j=1;j<=p.v;j++)        printf("%d ",dp[i][j]);      cout<<endl;    }}int main(){    int i;    while(~scanf("%d%d%d",&n,&p.u,&p.v))    {        for(i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d%d%d",&p.value[i],&p.cost[i],&p.cost2[i]);        }        cout<<ZeroOne_two_Dimensional_Pack()<<endl;        //show();    }    return 0;}/**3 2 21 1 13 2 24 3 3ans=33 6 61 1 13 2 24 3 3ans=4*/