双连通分量-tarjan

点双连通分量：

在无向连通图中，如果删除该图的任何一个结点都不能改变该图的连通性，则该图为双连通的无向图。一个连通的无向图是双连通的，当且仅当它没有关键点.

强连通分量：

在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi<>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。

tarjan算法：

tarjan(u){    DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值    Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中    for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边        if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过            tarjan(v)                  // 继续向下找            Low[u] = min(Low[u], Low[v])        else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])    if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根        repeat            v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点            print v        until (u== v)}

tarjan算法的本质：

对所有的节点进行dfs，并且在遍历的时候记录搜到这个点的时间，用dfn存储。当y搜索到的某个节点x之前搜索到了，那么

说明从节点x到节点y这一段路程组成一个强连通分量。具体代码实现就是每搜过一个点就把这个点放进栈里，low数组记录这个节

点以及这个节点所在的连通分量中的最小dfn，当low[x]=dfn[x]的时候，说明已经形成了一个连通分量，那么把栈里的节点出栈到x。

tarjan无向图求点双联通：

void tarjan(int x){    int i;    low[x]=dnf[x]=times++;    for(i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)    {        if(vis[i])continue;        vis[i]=vis[i^1]=1;        int y=edge[i].e;        if(!dnf[y])        {            st.push(i);            tarjan(y);            low[x]=min(low[x],low[y]);            if(low[y]>=dnf[x])//这个时候，栈里的点构成一个双连通分量            {                while(1)                {                    yw=st.top();                    st.pop();                    if(edge[yw].u==x)break;                }            }        }        else if(dnf[y]<dnf[x])        {            st.push(i);            low[x]=min(low[x],dnf[y]);        }    }}

tarjan有向图求强联通分量：

void tarjan(int x){    dnf[x]=low[x]=times++;    instack[x]=1;    qq.push(x);    for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)    {        int y=edge[i].v;        if(!dnf[y])        {            tarjan(y);            low[x]=min(low[x],low[y]);        }        else if(instack[y])        {            low[x]=min(low[x],dnf[y]);        }    }    if(low[x]==dnf[x])    {        int y=-1;        while(x!=y)        {            y=qq.top();            qq.pop();            instack[y]=0;        }        nums++;    }}

tarjan算法求完缩点之后，对于有向图：

如果入度为0的点的个数为a，出度为0的点的个数为b；

那么：最少需要加max(a,b)条边使得原图变成强联通图。