谷歌面试题——动态规划

#谷歌面试题# 两个鸡蛋：两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋以最少的次数确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋。转自陈利人

LinJM @HQU

方法分析:

看到这个题目，最保险的方法就是一层一层试验。但这样只需要一个鸡蛋就可以了。我们现在有两个鸡蛋，完全可以用有更快的方法。

进一步呢？可能试验的方法是二分查找，例如，第一个鸡蛋在50层扔下，如果碎了，第二个鸡蛋从1-49逐层试验；如果没碎，第一个鸡蛋在75层扔下，如果碎了，第二个鸡蛋从51-74逐层试验…但是，这个方法，很容易悲剧，例如，当正好49层是可以安全落下的，需要尝试50次。比只有一个鸡蛋的情况，效果还要差。

上面的分析都是从鸡蛋的角度出发的，想要得到最少的尝试次数，似乎比较难。那如果我们换个角度，从每个高度的楼层来看呢？如果，某个楼层是可以安全落下的，那么最少需要多少次尝试呢？看下面的分析

在我们编程解决问题的过程中，如果遇到最优问题的时候，往往可以先尝试一下动态规划的方法。而动态规划的方法，首要的我们要找到构成这个最优问题的最优子问题。

所以，下面的分析，我们首先尝试动态规划的方法，如何解决这个问题，这也是典型的程序员的思路；其次，在众多的问题当中，有不少可以直接归结为数学方程式，如果我们能够写出数学方程式，那么，答案将是更加的简洁、美妙。所以，第二个方法，将尝试如果总结出数学方程式。

基于动态规划的方法：

前面提到，若要采用动态规划的方法，最重要的是要找到子问题。做如下的分析，假设f{n}表示从第n层楼扔下鸡蛋，没有摔碎的最少尝试次数。第一个鸡蛋，可能的落下位置(1,n),第一个鸡蛋从第i层扔下，有两个情况：

碎了，第二个鸡蛋，需要从第一层开始试验，有i-1次机会

没碎，两个鸡蛋，还有n-i层。这个就是子问题了f{n-i} 

所以，当第一个鸡蛋，由第i个位置落下的时候，要尝试的次数为1 + max(i - 1, f{n - i})，那么对于每一个i，尝试次数最少的，就是f{n}的值。

状态转移方程如下： f{n} = min(1 + max(i - 1, f{n - 1}) ) 其中: i的范围为(1, n), f{1} = 1 完毕。

推广

动态规划的方法，可以推广为n层楼，m个鸡蛋。如下分析： 假设f{n,m}表示n层楼、m个鸡蛋时找到最高楼层的最少尝试次数。当第一个鸡蛋从第i层扔下，如果碎了，还剩m-1个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全楼层，还需要f{i-1,m-1}次，找到子问题；不碎的话，上面还有n-i层，还需要f[n-i,m]次，又一个子问题。 状态转移方程如下： f{n, m} = min(1 + max(f{n - 1, m - 1}, f{n - i, m}) ) 其中： i为(1, n), f{i, 1} = 1

基于数学方程的方法

假设最少尝试次数为x，那么，第一个鸡蛋必须要从第x层扔下，因为：如果碎了，前面还有x - 1层楼可以尝试，如果没碎，后面还有x-1次机会。

如果没碎，第一个鸡蛋，第二次就可以从x +（x - 1）层进行尝试，为什么是加上x - 1，因为，当此时，第一个鸡蛋碎了，第二个鸡蛋还有可以从x+1 到 x + (x - 1) - 1层进行尝试，有x - 2次。如果还没碎，那第一个鸡蛋，第三次从 x + (x - 1) + (x - 2)层尝试。碎或者没碎，都有x - 3次尝试机会，依次类推。那么，x次的最少尝试，可以确定的最高的楼层是多少呢？ x + (x - 1) + (x - 2) + … + 1 = x(x+1) / 2 那反过来问，当最高楼层是100层，最少需要多少次呢？x(x+1)/2 >= 100, 得到x>=14，最少要尝试14次。

Knowledge Insert ：Dynamic Programming

一、基本概念

    动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

二、基本思想与策略

    基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

   由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。

    与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

三、适用的情况

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：

    (1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

    (2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

   （3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

四、求解的基本步骤

     动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。如图所示。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。

    初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决策ｎ│→结束状态

                      图1 动态规划决策过程示意图

    (1)划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。在划分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。

    (2)确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。

    (3)确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策，状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做，根据相邻两个阶段的状态之间的关系来确定决策方法和状态转移方程。

    (4)寻找边界条件：给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的终止条件或边界条件。

    一般，只要解决问题的阶段、状态和状态转移决策确定了，就可以写出状态转移方程（包括边界条件）。

实际应用中可以按以下几个简化的步骤进行设计：

    （1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征。

    （2）递归的定义最优解。

    （3）以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值

    （4）根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解

五、算法实现的说明

    动态规划的主要难点在于理论上的设计，也就是上面4个步骤的确定，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。

     使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划三要素：

    （1）问题的阶段 （2）每个阶段的状态

    （3）从前一个阶段转化到后一个阶段之间的递推关系。

     递推关系必须是从次小的问题开始到较大的问题之间的转化，从这个角度来说，动态规划往往可以用递归程序来实现，不过因为递推可以充分利用前面保存的子问题的解来减少重复计算，所以对于大规模问题来说，有递归不可比拟的优势，这也是动态规划算法的核心之处。

    确定了动态规划的这三要素，整个求解过程就可以用一个最优决策表来描述，最优决策表是一个二维表，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格需要填写的数据一般对应此问题的在某个阶段某个状态下的最优值（如最短路径，最长公共子序列，最大价值等），填表的过程就是根据递推关系，从1行1列开始，以行或者列优先的顺序，依次填写表格，最后根据整个表格的数据通过简单的取舍或者运算求得问题的最优解。

          f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}

for(j=1; j<=m; j=j+1) // 第一个阶段    xn[j] = 初始值;  for(i=n-1; i>=1; i=i-1)// 其他n-1个阶段    for(j=1; j>=f(i); j=j+1)//f(i)与i有关的表达式   xi[j]=j=max（或min）{g(xi-1[j1:j2]), ......, g(xi-1[jk:jk+1])};  t = g(x1[j1:j2]); // 由子问题的最优解求解整个问题的最优解的方案 print(x1[j1]);  for(i=2; i<=n-1; i=i+1） {  t = t-xi-1[ji];  for(j=1; j>=f(i); j=j+1) if(t=xi[ji]) break; }

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