Longest Palindromic Substring

题目：

Given a string S, find the longest palindromic substring in S.即

给出一个字符串S，找到一个最长的连续回文串。

例如串 babcbabcbaccba 最长回文是:abcbabcba

分析：

首先将输入字符串S， 转换成一个特殊字符串T，转换的原则就是将S的开头结尾以及每两个相邻的字符之间加入一个特殊的字符，例如#

例如: S = “abaaba”, T = “#a#b#a#a#b#a#”.

为了找到最长的回文字串，例如我们当前考虑以Ti为回文串中间的元素，如果要找到最长回文字串，我们要从当前的Ti扩展使得 T_i-d … T_i+d 组成最长回文字串. 这里 d 其实和 以Ti为中心的回文串长度是一样的. 进一步解释就是说，因为我们这里插入了 # 符号，对于一个长度为偶数的回文串，他应该是以#做为中心的，然后向两边扩，对于长度是奇数的回文串，它应该是以一个普通字符作为中心的。通过使用#，我们将无论是奇数还是偶数的回文串，都变成了一个以Ti为中心，d为半径两个方向扩展的问题。并且d就是回文串的长度。

例如 #a#b#a#, P = 0103010, 对于b而言P的值是3，是最左边的#，也是延伸的最左边。这个值和当前的回文串是一致的。

如果我们求出所有的P值，那么显然我们要的回文串，就是以最大P值为中心的回文串。

T = # a # b # a # a # b # a #P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0

例如上面的例子，最长回文是 “abaaba”, P₆ = 6.

根据观察发现，如果我们在一个位置例如 abaaba的中间位置，用一个竖线分开，两侧的P值是对称的。当然这个性质不是在任何时候都会成立，接下来就是分析如何利用这个性质，使得我们可以少算很多P的值。

下面的例子 S = “babcbabcbaccba” 存在更多的折叠回文字串。

C表示当前的回文中心，L和R处的线表示以C为中心可以到达的最左和最右位置，如果知道这些，我们如何可以更好的计算C后面的P[i]. 

假设我们当前计算的是 i = 13, 根据对称性，我们知道对称的那个下标 i' = 9. 

根据C对称的原则，我们很容易得到如下数据 P[ 12 ] = P[ 10 ] = 0, P[ 13 ] = P[ 9 ] = 1, P[ 14 ] = P[ 8 ] = 0).

Now we are at index i = 15, and its mirrored index around C is i’ = 7. Is P[ 15 ] = P[ 7 ] = 7?

当时当i = 15的时候，却只能得到回文 “a#b#c#b#a”, 长度是5， 而对称 i ' = 7 的长度是7. 

如上图所示，如果以 i, i' 为中心，画出对称的区域如图，其中以i‘ = 7 对称的区域是 实心绿色 + 虚绿色 和 左侧，虚绿色表示当前的对称长度已经超过之前的对称中心C。而之前的P对称性质成立的原因是 i 右侧剩余的长度 R - i 正好比 以 i‘ 为中心的回文小。 

这个性质可以这样归纳，对于 i 而言，因为根据C对称的最右是R，所以i的右侧有 R - i 个元素是保证是 i' 左侧是对称的。 而对于 i' 而言他的P值，也就是回文串的长度，可能会比 R-i 要大。 如果大于 R - i, 对于i而言，我们只能暂时的先填写 P[i] = R - i, 然后依据回文的属性来扩充P[i] 的值； 如果P[i '] 小于R-i，那么说明在对称区间C内，i的回文串长度和i' 是一样长的。例如我们的例子中 i = 15, 因为R = 20，所以i右侧 在对称区间剩余的是 R - 15 = 5, 而 i’ = 7 的长度是7. 说明 i' 的回文长度已经超出对称区间。我们只能使得P[i] 赋值为5， 然后尝试扩充P[i]. 

if P[ i' ] ≤ R – i,
then P[ i ] ← P[ i' ]
else P[ i ] ≥R – i. (这里下一步操作是扩充 P[ i ].

扩充P[i] 之后，我们还要做一件事情是更新 R 和 C， 如果当前对称中心的最右延伸大于R，我们就更新C和R。在迭代的过程中，我们试探i的时候，如果P[i'] <= R - i, 那么只要做一件事情。 如果不成立我们对当前P[i] 做扩展，因为最大长度是n，扩展最多就做n次，所以最多做2*n。 所以最后算法复杂度是 O(n)

 

代码如下：

string preprocess(string s)
{
    string t;
    int n=s.length();
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
    t+="#";
    t+=s[i];
    }
    t+="#";
    return t;
 }
    int min(int a,int b)
    {
    return a<b?a:b;
    }
    string longestPalindrome(string s) {
        int n=s.length();
        if(n<=1)return s;
        string t=preprocess(s);
        n=n*2+1;
        int *array=new int[n];
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
        array[i]=0;
        }
        array[1]=1;
        array[n-2]=1;
        int c=1,r=2;
        for(int i=2;i<n-2;i++)
        {
        int sym=2*c-i;
        if(r>i）

        {
        array[i]=min(r-i,array[sym]);
        }
        while((i-array[i]-1)>=0&&(t[i-array[i]-1]==t[i+array[i]+1]))array[i]++;
        if(i+array[i]>r)
        {
        r=i+array[i];
        c=i;
        }
        }
        int maxlen=0;
        int j=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
        if(array[i]>maxlen)
        {
        maxlen=array[i];
        j=i;
        }
        }
        return s.substr((j-maxlen)/2,maxlen);   
    }